Trójkąt wpisany w prostokąt

[kwasimir]

W prostokącie ABCD bok AB jest 3 razy dłuższy od boku BC. Na boku AB obrano punkty E i F tak, ze |AE|=|EF|=|FB|. Wykaż, że |

[ymar]

tg BAC=1/3, tg BEC=1/2, tg BFC=1
arc tg 1/3=18,5st., arc tg 1/2=26,5st., arc tg 1=45st.
18,5+26,5=45 cbdo.

[Tristan]

Ja bym to zrobił tak:
Wiemy, że CB=FB=EF=AE=a. Czyli FC=a √ 2, EC=a √ 5, AC=a √ 10. Kąt BFC to \(\displaystyle{ \gamma}\), kąt BEC to \(\displaystyle{ \beta}\), a kąt BAC to \(\displaystyle{ \alpha}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \sin \gamma=\frac{a}{a \sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \gamma=45^{\circ}}\). W takim razie mamy wykazać, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=45^{\circ}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt2}{2}}\). Do wzoru potrzebne nam będą:
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{a}{a \sqrt10}=\frac{\sqrt10}{10}}\)
\(\displaystyle{ \sin\beta=\frac{a}{a \sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}}\)
\(\displaystyle{ \cos =\frac{3a}{a \sqrt10}=\frac{3 \sqrt10}{10}}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta=\frac{2a}{a \sqrt5}=\frac{2 \sqrt5}{5}}\)

Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos \beta+ \cos \sin \beta}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt10}{10}\cdot \frac{2 \sqrt5}{5}+\frac{3 \sqrt10}{10} \frac{\sqrt5}{5}=\frac{2 \sqrt50}{50}+\frac{3 \sqrt50}{50}=\frac{\sqrt50}{10}=\frac{5 \sqrt2}{10}=\frac{\sqrt2}{2}}\) cnd

[ymar]

twoje lepsze. fakt.

[kwasimir]

Ja w sumie niewiele jarze, więc miałbym prośbe. Moglibyście mi to juz zapisać w takiej finalnej formie. Żebym mógł to oddac i dostać dobrą ocenę Z gory dzięki za pomoc.

[Tristan]

Wydaje mi się, że napisałem przejrzyście. A Ty mógłbyś wykazać odrobinę dobrej woli i troszkę się przyłożyć, by zrozumieć rozwiązanie a nie bezmyślnie przepisać. Takie wygodnictwo nigdy nie popłaca.