Czy na czworokącie można opisać okrąg?

[pumex]

Prosiłbym, żeby ktoś wytłumaczył mi, jak zrobić następujące zadanie:

Dany jest czworokąt ABCD, którego kolejne boki mają długości 4,5,7,8. Kąt między najkrótszymi bokami tego czworokąta ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), taką że cos\(\displaystyle{ \frac{-9}{19}}\)=\(\displaystyle{ \alpha}\) . Sprawdź, czy można na nim opisać okrąg.

Przyjąłem tezę, że \(\displaystyle{ \beta}\)+\(\displaystyle{ eta}\)=180 stopni, walczyłem z twierdzeniem cosinusów, ale się pogubiłem

Z góry dzięki za pomoc

[Ptaq666]

Z twierdzeniem cosinusów dobry pomysł, czemu ci nie wyszło ?

nazwijmy boki kolejno a,b,c,d a przekątna niech będzie x i dzieli czworokąt na trójkąty o bokach abx oraz cdx. Mamy tak :

\(\displaystyle{ x^{2} = a^{a} + b^{2} - 2abcos \\ \\ x^{2} = c^{2} + d^{2} - 2cdcos \beta}\)

Teraz łączymy oba równania i wyliczamy cosinus beta

\(\displaystyle{ a^{a} + b^{2} - 2abcos = c^{2} + d^{2} - 2cdcos \beta}\)

Teraz jak masz oba cosinusy, to policz ile wyjdzie \(\displaystyle{ cos( + \beta )}\) i jak wyjdzie (-1), to da się opisać okrąg.

[pumex]

Faktycznie, zrobiłem jakiś głupi błąd przy podstawianiu

Dzięki za pomoc!