Trzy proste

[szymek12]

Trzy proste przecinają się w jednym punkcie tak, że każde dwie z nich tworza kąt, którego cosinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Punkt M znajduje się w odległości k od jednej z tych prostych i 1 od drugiej prostej. Jaka jest odległość od trzeciej prostej?

[florek177]

1. Kąty w zadaniu mają po \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \,\}\); w zadaniu przyjmuję, że \(\displaystyle{ k < 1 \,\}\) ; odcinek \(\displaystyle{ |MO| = d_{1} \,\,\}\); kąt między pierwszą prostą i \(\displaystyle{ d_{1} \,\}\) - \(\displaystyle{ \alpha}\)

2. Szukana odległość: \(\displaystyle{ \,\ d = d_{1} \cdot sin(\frac{2 \pi}{3} - \alpha) \, = d_{1}\, ( \frac{\sqrt{3}}{2} \,\ cos(\alpha) + \frac{1}{2} \,\ sin(\alpha)) \,}\)

3. Mamy: \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{1}{d_{1}} \,\,\}\) oraz \(\displaystyle{ \,\,\ sin(\frac{\pi}{3}- \alpha) = \frac{k}{d_{1}} \,\,\}\) --> rozpisuję wyrażenie i otrzymuję z przyrównania \(\displaystyle{ d_{1}}\)

\(\displaystyle{ k \cdot sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\ cos(\alpha) - \frac{1}{2} \,\ sin(\alpha) \,\,\}\) --> wyznaczam \(\displaystyle{ cos(\alpha) \,\}\) , wstawiam do wyr. 2. oraz \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{1}{d_{1}}\,\}\) i otrzymamy po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ d = k + 1}\)