Trzy proste
-
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
Trzy proste
Trzy proste przecinają się w jednym punkcie tak, że każde dwie z nich tworza kąt, którego cosinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Punkt M znajduje się w odległości k od jednej z tych prostych i 1 od drugiej prostej. Jaka jest odległość od trzeciej prostej?
-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Trzy proste
1. Kąty w zadaniu mają po \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} \,\}\); w zadaniu przyjmuję, że \(\displaystyle{ k < 1 \,\}\) ; odcinek \(\displaystyle{ |MO| = d_{1} \,\,\}\); kąt między pierwszą prostą i \(\displaystyle{ d_{1} \,\}\) - \(\displaystyle{ \alpha}\)
2. Szukana odległość: \(\displaystyle{ \,\ d = d_{1} \cdot sin(\frac{2 \pi}{3} - \alpha) \, = d_{1}\, ( \frac{\sqrt{3}}{2} \,\ cos(\alpha) + \frac{1}{2} \,\ sin(\alpha)) \,}\)
3. Mamy: \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{1}{d_{1}} \,\,\}\) oraz \(\displaystyle{ \,\,\ sin(\frac{\pi}{3}- \alpha) = \frac{k}{d_{1}} \,\,\}\) --> rozpisuję wyrażenie i otrzymuję z przyrównania \(\displaystyle{ d_{1}}\)
\(\displaystyle{ k \cdot sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\ cos(\alpha) - \frac{1}{2} \,\ sin(\alpha) \,\,\}\) --> wyznaczam \(\displaystyle{ cos(\alpha) \,\}\) , wstawiam do wyr. 2. oraz \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{1}{d_{1}}\,\}\) i otrzymamy po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ d = k + 1}\)
2. Szukana odległość: \(\displaystyle{ \,\ d = d_{1} \cdot sin(\frac{2 \pi}{3} - \alpha) \, = d_{1}\, ( \frac{\sqrt{3}}{2} \,\ cos(\alpha) + \frac{1}{2} \,\ sin(\alpha)) \,}\)
3. Mamy: \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{1}{d_{1}} \,\,\}\) oraz \(\displaystyle{ \,\,\ sin(\frac{\pi}{3}- \alpha) = \frac{k}{d_{1}} \,\,\}\) --> rozpisuję wyrażenie i otrzymuję z przyrównania \(\displaystyle{ d_{1}}\)
\(\displaystyle{ k \cdot sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\ cos(\alpha) - \frac{1}{2} \,\ sin(\alpha) \,\,\}\) --> wyznaczam \(\displaystyle{ cos(\alpha) \,\}\) , wstawiam do wyr. 2. oraz \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{1}{d_{1}}\,\}\) i otrzymamy po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ d = k + 1}\)