Zadanie z okręgiem + obwód wielokąta

Pajq` · Post autor: **Pajq`** » 29 paź 2005, o 12:25

Witam. Mam mały problem. Niektórzy pewnie spojrzą na treść i będą wiedzieli o co chodzi. Z góry chciałbym powiadomić iż nie chodzi mi o rozwiązanie zadania tylko o jakieś wskazówki, nie na tym rzecz polega, aby zadanie przepisać
Oto jego treść:

Wyznacz wszystkie punkty z okręgu o środku S (0,0) i promieniu r=5, których iloczyn kwadratów współrzędnych jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 14. Oblicz obwód wielokąta, którego wierzchołkami są znalezione punkty. Zbadaj czy jest on większy od 30.]

Z górki dziękuję za pomoc

pajq · Post autor: **pajq** » 29 paź 2005, o 12:51

Przepraszam, zapomniałem się zalogować

Wyznacz wszystkie punkty z okręgu o środku S (0,0)iloczyn kwadratów współrzędnych jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 14.

NWW dla 12 i 14 wyszło mi 84 (6*14) (7*12)
iloczyn kwadratów współrzędnych (oznaczyłem x,y) czyli równanie AFAIR \(\displaystyle{ x^{2} y^{2} = 84}\) , tak ?
Nie wiem co dalej, może to układ równań i nie mogę znaleźć drugiego równania?
Próbowałem rysunkiem, wpisałem kwadrat w część okręgu, leżącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych z przekątną kawadratu i kącie β=45°
i sin45 ° = \(\displaystyle{ \frac {x} {5} ; x=\frac {5sqrt2} {2}}\) czyli współrzędną A miał (x,y) i x=y .. trochę za dużo. Pewnie gdzieś źle liczę, tylko nie wiem gdzie

ymar · Post autor: **ymar** » 29 paź 2005, o 12:52

Mamy układ dwóch równań:
x*x+y*y=25
x*x*y*y=84

w drugim mamy dwa przypadki:
x=sqrt(84/(y*y)) v x=-sqrt(84/(y*y)) (y różne od zera, bo jak by było równe w drugim byłoby 0 a nie 84)

podstawiamy do drugiego:
y*y=84/y*y v y*y=84/y*y
wystarczy?

pajq · Post autor: **pajq** » 29 paź 2005, o 12:59

ymar pisze: x*x+y*y=25

Skąd takie równanie ? \(\displaystyle{ x^2}\) + \(\displaystyle{ y^2}\) = 25 ? Nie wiem skąd się to wzięło, mogę prosić o wytłumaczenie ?

ymar · Post autor: **ymar** » 29 paź 2005, o 13:04

równanie okręgu o środku w początku układu wspórzędnych i promieniu r.
niech (x,y) należy do takiego okręgu. Z twierdzenia pitagorasa stwierdzamy, że x*x+y*y=r*r, czyli 5*5=25
edit: oczywiście można to uogólnić na okręgi o innych środkach: po prostu przesuwasz któryś z powyższych o wektor [p,q]:
(x-p)*(x-p)+(y-q)*(y-q)=r*r. W ten sposób otrzymasz każdy okrąg na płaszczyźnie. Może ci się to kiedyś przyda

pajq · Post autor: **pajq** » 30 paź 2005, o 12:22

Czyli mam układ równań:

\(\displaystyle{ x^{2} * y^{2} = 84}\)
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 25}\)

Z drugiego równania IMO łatwiej policzyć x czy y, więc

\(\displaystyle{ x^{2}=25-y^{2}}\)
Co daje...
x=5-y
Podstawiam do pierwszego...

\(\displaystyle{ (5-y)^{2} * y^{2} = 84}\)
Co daje nam...
\(\displaystyle{ ( 25-5y+y^{2} )*y^{2} = 84}\)
Po wymnożeniu i spotęgowaniu:
\(\displaystyle{ 25y^{2} - 5y^{3} + y^{4} = 84}\)
Przeniosę 84 na lewą stronę i całość porównam do zera.
\(\displaystyle{ y^{4} - 5y^{3} + 25y^{2} - 84 = 0}\)

Trzeba "rozbić" te potęgi. Wyłączenie jakiejś liczby/zmiennej nie da nic, dzielenie wielomianu? Tylko nie mam pierwiastka, przez który mógłbym podzielić.
Twierdzenie Bezout ?
\(\displaystyle{ W_{(a)} = 0}\)
Ale nie mam "a"

Uhh nie wiem Jak ktoś ma pomysł, ewentualnie poprawi mnie jeśli coś gdzieś jest źle, dziekuję.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 30 paź 2005, o 12:29

Zatrzymaj się na linijce
\(\displaystyle{ (5-y)^2 y^2=84\\ (5-y)^2y^2=(2 sqrt21)^2\\(5-y)y=2 sqrt21 (5-y)y=-2 sqrt21}\)
To chyba ułatwi sprawę.

Już poprawiłem:)

pajq · Post autor: **pajq** » 30 paź 2005, o 12:32

O właśnie, teraz klarowniej.
Tylko dlaczego porównałes do \(\displaystyle{ 8^{2}}\) ?

ymar · Post autor: **ymar** » 30 paź 2005, o 19:39

pajq pisze:
Co daje...
x=5-y

kurcze, nie rozumiem... czemu?