W prostokącie poprowadzono przekatna...

[Scintilla_wwy]

W prostokącie ABCD poprowadzono przkątną AC. Odcinek DE jest wysokoscią trójkąta AC, a punkt E dzieli przekątną na dcinki o dlugości 3cm i 12 cm. Oblicz:

a) pole prostokata ABCD
b) obwód trójkąta ACD

bede wdzieczna za pomoc

[anibod]

Narysuj rysunek prostokąta ABCD, wiadomo że pkt E dzieli przekątną na dwa odcinki o AE = 3cm i EC=12cm więc przekątna d = AC=15 cm. Dla ułatwienia niech \(\displaystyle{ \left|AB \right| =a}\)
\(\displaystyle{ \left|BC \right|=b}\)
\(\displaystyle{ \left|DE \right|=h}\) - wysokośś trójkąta
Z tw pitagorasa wiesz, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=15^{2}}\) (1)

Spójrz na dwa trójkąty ADE i DEC, oba są to trójkąty prostokątne, bok De jest ich wspólnym bokiem:
Z trójkąta ADE:
\(\displaystyle{ b^{2}=h^{2}+ 3^{2}}\) (2)
Z trójkąta DEC:
\(\displaystyle{ a^{2}=h^{2}+ 12^{2}}\) (3)
Powstaje ci układ równań (1), (2) i (3)
Do równania oznaczonego (1) wstawiasz (2) i (3)
powstaje równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ h^{2}+9+h^{2}+144=225}\)
Wyliczasz h
\(\displaystyle{ 2h^{2}=72}\)
\(\displaystyle{ h^{2}=36}\)
Zatem h=6
Zatem \(\displaystyle{ a^{2}=144+36}\) \(\displaystyle{ a^{2}=180}\)
\(\displaystyle{ a=6 \sqrt{5}}\)
a \(\displaystyle{ b^{2}=9+36}\), \(\displaystyle{ b^{2}=45}\)
zatem \(\displaystyle{ b= 3 \sqrt{5}}\)

Obwód trójkąta ACD: \(\displaystyle{ O_{b}=a+b +d = 3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5}+15= 9 \sqrt{5}+15}\)
pole prostokąta ABCD; \(\displaystyle{ P_{ABCD} =a b = 3 \sqrt{5} 6 \sqrt{5} = 90}\)
Oczywiście nie zapomnij o jednostkach długości

[Wicio]

\(\displaystyle{ AE ^{2} +DE ^{2} =AD ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 9+DE ^{2} =AD ^{2}}\)

\(\displaystyle{ CE ^{2} +DE ^{2} =DC ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 144+DE ^{2} =DC ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 9+DE ^{2} =AD ^{2} \\ 144+DE ^{2} =DC ^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} DE ^{2} =AD ^{2}-9 \\ 144+DE ^{2} =DC ^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 144+ AD ^{2}-9=DC ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 135+AD ^{2} =DC ^{2}}\)

\(\displaystyle{ AD ^{2} +DC ^{2} =AC ^{2}}\)
\(\displaystyle{ AD ^{2} +DC ^{2} =225}\)
\(\displaystyle{ DC ^{2} =225-AD ^{2}}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} 135+AD ^{2} =DC ^{2}\\ DC ^{2} =225-AD ^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 135+AD ^{2}=225-AD ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2AD ^{2} =90}\)
\(\displaystyle{ AD=3 \sqrt{5} cm}\)


\(\displaystyle{ DC ^{2} =225-AD ^{2}}\)
\(\displaystyle{ DC ^{2} =225-45}\)
\(\displaystyle{ DC =6 \sqrt{5} cm}\)


\(\displaystyle{ P=3 \sqrt{5} 6 \sqrt{5} =90cm ^{2}}\)

\(\displaystyle{ Obw=2 3 \sqrt{5} +2 6 \sqrt{5} =18 \sqrt{5} cm}\)