1. w trójkąt równaremienny o podstawie długości 2a i ramieniu długości x wpisano okrąg i połączono odcinkiem punkty styczności tego okręgu z ramionami trójkąta. Odcinek ten podzielił dany trójkąt na trapez o polu P1 i trójkąt o polu P2. Wyznacz P1/P2 jako funkcję x.
2. Odcinki AB i CD to odpowiednio dłuższa i krótsza podstawa trapezu ABCD. Dwusieczna kąta B jest prostopadła do boku AD i przecina go w punkcie E tak że |AE|=2|ED|. wyznacz stosunek pól powierzchni figur, na które prosta BE dzieli trapez ABCD
trójkąt i trapez
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
trójkąt i trapez
1.
Mając dane:długośc podstawy oraz długość ramion mozna wyznaczyc pole trójkąta (całego) ponieważ wysokość mozna policzyc z tw. Pitagorasa.Promien okregu wpisanego mozna policzyć ze wzoru \(\displaystyle{ P=0,5r(a+b+c)}\).Jesli poprowadzisz promienie do punktów styczności i połaczysz środek tego okregu z wierzchołkiem powstana dwa trójkąty przystajace (bo odcinek ten jest dwusieczną zatem cecha Kąt Bok Kąt).Stąd wyrazisz długośc ramion powstałego trapezu zatem obliczysz wysokośc trapezu prowadzac odcinek łaczacy punkt stycznosci z podstawa i korzystajac z Pitagorasa.Pole trojkata mniejszego to pole całego trójkata pomniejszone o pole trapezu.
Mając dane:długośc podstawy oraz długość ramion mozna wyznaczyc pole trójkąta (całego) ponieważ wysokość mozna policzyc z tw. Pitagorasa.Promien okregu wpisanego mozna policzyć ze wzoru \(\displaystyle{ P=0,5r(a+b+c)}\).Jesli poprowadzisz promienie do punktów styczności i połaczysz środek tego okregu z wierzchołkiem powstana dwa trójkąty przystajace (bo odcinek ten jest dwusieczną zatem cecha Kąt Bok Kąt).Stąd wyrazisz długośc ramion powstałego trapezu zatem obliczysz wysokośc trapezu prowadzac odcinek łaczacy punkt stycznosci z podstawa i korzystajac z Pitagorasa.Pole trojkata mniejszego to pole całego trójkata pomniejszone o pole trapezu.
-
Oregon
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
trójkąt i trapez
Witam!
Mam pytanie odnośnie do tego samego zadania.
W odpowiedziach napisane jest, że wynik wynosi \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(x-a)^2}-1; x \in (a; +\infty)}\).
No właśnie - skąd ta jedynka?
Wcześniej postąpiłem zgodnie ze wskazówkami, tzn. oznaczyłem odcinek łączący punkty styczności ramion okręgu wpisanego w trójkąt jako \(\displaystyle{ y}\) i korzystając z podobieństwa "małego" trójkąta i trójkąta dużego otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{x-a}{y}= \frac{x}{2a}}\). Czyli skala podobieństwa boków wynosi \(\displaystyle{ k= \frac{x}{x-a}}\). Natomiast skala podobieństwa pól to \(\displaystyle{ k^2=\frac{P_{1}}{P_{2}}= \frac{x^2}{(x-a)^2}}\).
Gdyby ktoś mógł mnie oświecić, byłbym wdzięczny.
Pozdrawiam
Mam pytanie odnośnie do tego samego zadania.
W odpowiedziach napisane jest, że wynik wynosi \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(x-a)^2}-1; x \in (a; +\infty)}\).
No właśnie - skąd ta jedynka?
Wcześniej postąpiłem zgodnie ze wskazówkami, tzn. oznaczyłem odcinek łączący punkty styczności ramion okręgu wpisanego w trójkąt jako \(\displaystyle{ y}\) i korzystając z podobieństwa "małego" trójkąta i trójkąta dużego otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{x-a}{y}= \frac{x}{2a}}\). Czyli skala podobieństwa boków wynosi \(\displaystyle{ k= \frac{x}{x-a}}\). Natomiast skala podobieństwa pól to \(\displaystyle{ k^2=\frac{P_{1}}{P_{2}}= \frac{x^2}{(x-a)^2}}\).
Gdyby ktoś mógł mnie oświecić, byłbym wdzięczny.
Pozdrawiam
-
Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
trójkąt i trapez
Ja również robiąc to zadanie otrzymałam wynik bez 1 i również chciałabym wiedzieć skąd w wyniku ma być ta jedynka. Liczę na podpowiedź
-
Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
trójkąt i trapez
Policzyliście stosunek pól trójkątów a w zadaniu chodzi o stosunek pola trapezu do pola mniejszego trójkąta
Zauważmy, że pole trapezu ABFE to pole trójkąta ABC minus pole trójkąta EFC zatem:
\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2}= \frac{P_{ABC}-P_{EFC}}{P_{EFC}}= \frac{P_{ABC}}{P_{EFC}}-1}\)
Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta. Na rysunku zaznaczyłem fragment jednej z dwusiecznych - BD. Korzystając z własności stycznych do okręgu lub zauważając, że trójkąty DGB i DFB są przystające dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ |BF|=|BG|=a}\). Zatem ramię trójkąta EFC ma długość \(\displaystyle{ x-a}\).
Trójkąty ABC i EFC są podobne. Stosunek ich pól to stosunek odpowiadających boków podniesiony do kwadratu. Weźmy ich ramiona:
\(\displaystyle{ \frac{P_{ABC}}{P_{EFC}}-1=( \frac{x}{x-a})^2-1}\)
Zauważmy, że pole trapezu ABFE to pole trójkąta ABC minus pole trójkąta EFC zatem:
\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2}= \frac{P_{ABC}-P_{EFC}}{P_{EFC}}= \frac{P_{ABC}}{P_{EFC}}-1}\)
- AU
- d7afb28b3c4dfbf4.jpg (8.96 KiB) Przejrzano 338 razy
Trójkąty ABC i EFC są podobne. Stosunek ich pól to stosunek odpowiadających boków podniesiony do kwadratu. Weźmy ich ramiona:
\(\displaystyle{ \frac{P_{ABC}}{P_{EFC}}-1=( \frac{x}{x-a})^2-1}\)