Planimetria zadania z trójkątem

[kondri]

1. Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość a. Oblicz długość wysokości poprowadzonej do podstawy

2.Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 4. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie dzieli jedną z wysokości trójkąta na odcinki, których stosunek długości wynosi 3:5. Oblicz długość ramienia tego trójkąta

[Elvis]

1. Oznaczmy długość ramienia przez b. Każda ze środkowych wraz z podstawą i połową ramienia trójkąt podobny do dużego. Stąd \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{2}b}{a}}\) i \(\displaystyle{ b=a\sqrt{2}}\). Wysokość można już łatwo obliczyć.
2. Jeśli ta wysokość jest spuszczona z jednego z końców podstawy, to trójkąt jest równoboczny, co prowadzi do sprzeczności. Chodzi więc o wysokość prostopadłą do podstawy, a krótszy z odcinków, na jakie jest podzielona, to ten kończący się w spodku. Z tw. Pitagorasa możemy obliczyć długość tych odcinków, wysokości i ramienia.