III et. I OMG - równoległobok

[patry93]

Witam. Zadanie z III etapu I edycji OMG.
Dany jest równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) należy do boku \(\displaystyle{ AB}\), a punkt \(\displaystyle{ F}\) do boku \(\displaystyle{ AD}\). Prosta \(\displaystyle{ EF}\) przecina prostą \(\displaystyle{ CB}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\), a prostą \(\displaystyle{ CD}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Wykaż że pole trójkąta \(\displaystyle{ CEF}\) jest równe polu trójkąta \(\displaystyle{ APQ}\).

Bardzo proszę o tylko małą podpowiedź , czyli np.:
- trygonometria - koniec!
- podobieństwo - koniec!
itd.
Nie chcę po prostu stracić przyjemności z rozwiązania zadania, mam nadzieję, że mnie rozumiecie


Pozdrawiam i dziękuję za odp.

[limes123]

podobieństwo - koniec

[patry93]

O, i o to chodzi Dzięki
Dzisiaj trochę pogłówkowałem nad tym i znalazłem niestety niewiele... :/
Rysunek:

Z tego widać, że \(\displaystyle{ \Delta QFD \Delta EPB \Delta AEF (kkk)}\)
Próbuję jakoś zapisać pole trójkąta \(\displaystyle{ APQ}\) jako pola trzech trójkątów z których się on składa, lecz wtedy potrzebny jest wzór na sumę sinusów, cosinusów czy coś takiego, więc pewnie nie tędy droga....
Nad zapisaniem pola trójkąta \(\displaystyle{ CEF}\) jeszcze myślę, ale kipsko idzie....
Prosiłbym o kolejną małą podpowiedź (nawet mniejszą od tej pierwszej )
Pozdrawiam i dziękuję

[limes123]

Próbuję jakoś zapisać pole trójkąta jako pola trzech trójkątów z których się on składa, lecz wtedy potrzebny jest wzór na sumę sinusów, cosinusów czy coś takiego, więc pewnie nie tędy droga....

no skoro chcesz mala podpowiedz to poszedles w zla strone. Wsk II -> najbardziej rzucajace sie w oczy podobienstwo na rysunku

[patry93]

no skoro chcesz mala podpowiedz to poszedles w zla strone.

bee

Wsk II -> najbardziej rzucajace sie w oczy podobienstwo na rysunku

Ok, poddaję się.... :/ Dla mnie najbardziej rzucające się podobieństwo to były właśnie te 3 trójkąty....
Drugie jakie mi się wydaje, to trójkąty \(\displaystyle{ APB \: i \: QFC}\), ale pewnie wcale nie są podobne... (albo ja nie potrafię tego wykazać)
Jakaś kolejna mała wskazóweczka?

[limes123]

AEF i PCQ

[kaszubki]

Ja to dziś na niemieckim rozwiązałem :p

[patry93]

Zaraz się załamię...
Faktycznie przeoczyłem PCQ :/ Ale i tak za nic nie mogę ruszyć
Tępy jestem, potrzebna mi chyba znów jakaś podpowiedź.....
kaszubki - gratuluję umiejętności...

[kaszubki]

To ja podpowiem: poprowadź wysokości trójkątów CPQ i AEF. I wiedząc, że są podobne...

[patry93]

Hm.... w zasadzie już kombinowałem w tę stronę.... możliwe, że stosunek tych wysokości będzie taki sam jak boków (sam niewiem :/), ale nie wiem co to daje
Czy to, że \(\displaystyle{ EF = \frac{h_{A} QP}{h_{C}}}\), gdzie \(\displaystyle{ h_{A} i h_{C}}\) to odpowiednio wysokości trójkątów AEF i CPQ...?
Najgorsze jest to, że nie widzę dlaczego akurat tak należy robić, skoro do wyliczenia jest pole APQ i CEF..... :/

[ Dodano: 17 Września 2008, 18:58 ]
O dżizas! Eureka :O
\(\displaystyle{ P_{ CEF} = \frac{1}{2} EF h_{C} = \frac{1}{2} \frac{h_{A} QP}{h_{C}} h_{C} = \frac{1}{2} h_{A} QP}\)
\(\displaystyle{ P_{ APQ} = \frac{1}{2} PQ h_{A} = \frac{1}{2} \frac{h_{C} EF}{h_{A}} h_{A} = \frac{1}{2} h_{C} EF}\)
Dobrze?

[kaszubki]

Ja zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \frac{PQ}{ h_{c} }}\) = \(\displaystyle{ \frac{EF}{ h_{a} }}\), więc \(\displaystyle{ EF * h_{c} = PQ * h_{a}.}\)Dzieląc obie strony przez 2 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{EF * h_{c} }{2} = \frac{ PQ * h_{a}. }{2} P_{EFC}=P_{PAQ}.}\)[/latex]