Stosunek Pól

[AsFalcon]

Stosunek długości przekątnych rombu wynosi 3:4. Oblicz stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb.

[Elvis]

Oznaczmy krótszą przekątną przez \(\displaystyle{ 6a}\), dłuższą przez \(\displaystyle{ 8a}\). Bok rombu ma długość \(\displaystyle{ 5a}\) (z tw. Pitagorasa). Pole wynosi \(\displaystyle{ 24a^2}\) (połowa iloczynu przekątnych). Jednocześnie pole wynosi \(\displaystyle{ 10ar}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) to promień koła (połowa iloczynu obwodu i promienia). Dalej obliczasz pole koła i końcowy wynik.

[Ichiban]

\(\displaystyle{ d_1}\) - krótsza przekątna
\(\displaystyle{ d_2}\) - dłuższa przekątna

Przyjmujemy, że

\(\displaystyle{ d_1 = 6a}\)
\(\displaystyle{ d_2 = 8a}\)

Rozpatrzymy trójkąt prostokątny utworzony przez przekątne i bok rombu:

Przyprostokątne trójkąta to:

\(\displaystyle{ x = \frac{d_1}{2} = 3a}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{d_2}{2} = 4a}\)

\(\displaystyle{ z}\) - przeciwprostokątna (a jednocześnie bok rombu)

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 = z^2}\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt{x^2+y^2}}\)

\(\displaystyle{ z = \sqrt{(3a)^2+(4a)^2} = \sqrt{9a^2+16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a}\)

Obliczamy pole rombu:

\(\displaystyle{ P_r = \frac{d_1 d_2}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_r = \frac{6a 8a}{2} = 24a^2}\)

Aby obliczyć pole koła potrzebujemy promienia:

\(\displaystyle{ P_k = \pi r^2}\)

Promień koła wpisanego w romb to połowa wysokości:

\(\displaystyle{ r = \frac{h}{2}}\)

Wysokość można policzyć ze wzoru na pole rombu:

\(\displaystyle{ P_r = zh}\)

\(\displaystyle{ h = \frac{P_r}{z}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ r = \frac{P_r}{2z}}\)

Podstawiamy:

\(\displaystyle{ r = \frac{24a^2}{10a} = \frac{12a}{5}}\)

Pole koła to:

\(\displaystyle{ P_k = \pi r^2}\)

\(\displaystyle{ P_k = \pi ft(\ \frac{12a}{5} \right)^2 = \frac{144 \pi a^2}{25}}\)

Obliczamy stosunek:

\(\displaystyle{ \frac{P_r}{P_k} = 24a^2 \frac{25}{144 \pi a^2} = \frac{25}{6\pi}}\)