A, B, C są współliniowe

[nogiln]

Dla jakich wartości k punkty A, B, C są współliniowe, a dla jakich niewspółliniowe, jeśli :
AB=10, AC=3+k, BC=7-k

[Ichiban]

Są współliniowe jeśli:

(1) \(\displaystyle{ \left|AB\right| + \left|AC\right| = \left|BC\right|}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
(2) \(\displaystyle{ \left|AB\right| + \left|BC\right| = \left|AC\right|}\)
\(\displaystyle{ \vee}\)
(3) \(\displaystyle{ \left|AC\right| + \left|BC\right| = \left|AB\right|}\)

Sprawdzamy poszczególne warunki

1:
10 + 3 + k = 7 - k
2k = -6
k = -3

2:
10 + 7 - k = 3 + k
2k = 14
k = 7

3:
3 + k + 7 - k = 10
10 = 10
\(\displaystyle{ k \in R}\)

\(\displaystyle{ (1) \vee (2) \vee (3) \Leftrightarrow x \in R}\)

Należy jeszcze uwzględnić, że
\(\displaystyle{ 3 + k > 0 \wedge 7 - k > 0}\)
\(\displaystyle{ k > -3 k < 7}\)

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ k ft(-3, 7\right)}\)

W tym przedziale punkty są współliniowe. Nie ma takiego k, żeby punkty były niewspółliniowe.