stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Tux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 27 cze 2008, o 14:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kto to wie?
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 2 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Tux »

W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta ostrego dzieli przeciwległy bok w stosunku 2:3
Oblicz stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt
Awatar użytkownika
Ichiban
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 12 wrz 2008, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 31 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Ichiban »

Mamy trójkąt prostokątny o bokach a, b, c, gdzie c jest przeciwprostokątną.

Dwusieczna dziel bok a w stosunku 2:3, zatem \(\displaystyle{ \frac{b}{c} = \frac{2}{3}}\)

Zakładamy, że:
\(\displaystyle{ c = 3n}\)
\(\displaystyle{ b = 2n}\)

Wtedy z twierdzenia Pitagorasa można wyznaczyć

\(\displaystyle{ a = \sqrt{5}n}\)

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości przeciwprostokątnej, zatem:

\(\displaystyle{ R = \frac{3}{2}n}\)

Długość promienia okręgu wpisanego wyznaczymy ze wzoru:

\(\displaystyle{ r = \frac{2P}{a+b+c}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{ab}{2} = \sqrt{5}n^2}\)

Podstawiamy do wzoru i liczymy:

\(\displaystyle{ r = \frac{2\sqrt{5}n^2}{2n + \sqrt{5}n + 3n} = \frac{2\sqrt{5}n}{5+\sqrt{5}}}\)

Stosunek pól kół wyraża się następująco:

\(\displaystyle{ \frac{P_o}{P_w} = ft(\frac{R}{r}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{R}{r} = \frac{3n}{2} \frac{5+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}n} = \frac{3\left(5+\sqrt{5}\right)}{4\sqrt{5}} = \frac{3\left(5+\sqrt{5}\right) \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \sqrt{5}} = \frac{3\left(5\sqrt{5}+5\right)}{20} = \frac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}}\)


\(\displaystyle{ \left(\frac{R}{r}\right)^2 = ft(\frac{3\left(\sqrt{5}+1\right)}{4}\right)^2 = \frac{\left(3\left(\sqrt{5}+1\right)\right)^2}{16} = \frac{9\left(5+ 2\sqrt{5} + 1\right)}{16} = \frac{9\left(6+ 2\sqrt{5}\right)}{16}= \frac{9\left(3+ \sqrt{5}\right)}{8}}\)

EDIT: Był błędzik. Już poprawiony.
EDIT2: Był błędzik. Już poprawiony.
EDIT3: Był błędzik. Już poprawiony.
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2008, o 15:06 przez Ichiban, łącznie zmieniany 3 razy.
Tux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 27 cze 2008, o 14:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kto to wie?
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 2 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Tux »

Nie rozumiem założenia.
Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{b}{c} = \frac{2}{3}}\) ?
Awatar użytkownika
Ichiban
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 12 wrz 2008, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 31 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Ichiban »

Wynika to z twierdzenia o dwusiecznych
Tux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 27 cze 2008, o 14:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kto to wie?
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 2 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Tux »

Nie wiem czy mam rację, ale wydaję mi się, że błędnie zapisany został wzór na długość promienia okręgu wpisanego. Bo wydaję mi się, że powinno to być \(\displaystyle{ r= \frac{P}{p}}\) gdzie \(\displaystyle{ p= \frac{a+b+c}{2}}\) (połowa obwodu trójkąta) i wtedy \(\displaystyle{ r= \frac{P}{a+b+c}}\) czyli reasumując \(\displaystyle{ r= \frac{ab}{a+b+c}}\)
Awatar użytkownika
Ichiban
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 12 wrz 2008, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 31 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Ichiban »

Skoro \(\displaystyle{ r = \frac{P}{p}}\) a \(\displaystyle{ p = \frac{a+b+c}{2}}\) to

\(\displaystyle{ r = \frac{P}{ \frac{a+b+c}{2}} = \frac{2P}{a+b+c}}\) czyli tak jak napisałem
Tux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 27 cze 2008, o 14:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kto to wie?
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 2 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Tux »

Ale \(\displaystyle{ P= \frac{ab}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ r= \frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2} }}\) i wychodzi, że \(\displaystyle{ r= \frac{ab}{a+b+c}}\)

Możliwe, że już głupoty piszę bo cały dzień zadania rozkminiam
Awatar użytkownika
Ichiban
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 12 wrz 2008, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 31 razy

stosunek pól koła opisanego i wpisanego w trójkąt

Post autor: Ichiban »

\(\displaystyle{ r = \frac{2P}{a+b+c}}\) to przecież to samo co \(\displaystyle{ r = \frac{ab}{a+b+c}}\) więc o co chodzi??
ODPOWIEDZ