podobieństwo zadanie z prostokątem

[prue]

Jeden z boków prostokąta ma długość 1.Wyznacz długość drugiego boku tego prostokąta,jeśli proste poprowadzone z przeciwległych wierzchołków prostopadle do przekątnej dzielą ją na trzy równe części.

[crucifix]

prostokąt ABCD
AB > AD
AE=EF=FC=x

przypadek pierwszy
AD=1
CED jest podobny do ACD zatem

\(\displaystyle{ \frac{CD}{EC}= \frac{AC}{CD} \frac{CD}{2x}= \frac{3x}{CD} CD^{2}=6x^{2} CD= \sqrt{6} x}\)

twierdzenie Pitagorasa w ACD, wyliczasz x
podstawiasz do CD i masz wynik

przypadek drugi
CD=1
CED jest podobny do ACD zatem

\(\displaystyle{ \frac{CD}{EC}= \frac{AC}{CD} \frac{1}{2x}= \frac{3x}{1} 6x^{2}=1 x= \sqrt{ \frac{1}{6} }}\)
\(\displaystyle{ AC = 3 \sqrt{ \frac{1}{6}}\)

wykorzystanie tw. Pitagorasa ostatecznie rozwala zadanie

\(\displaystyle{ AD = \sqrt{ \frac{1}{2}}\)