Planimetria

[kondri]

1. Symetralna boku AB trójkąta ABC przecina bok BC w punkcie K, przy czym odcinek BK ma długość 5. Jaką długość ma odcinek AK? Odpowiedź uzasadnij
Narysowałem i wychodzi że odcinek AK ma długość 5 jak to uzasadnić

2.Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60 stopni promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta.

[Grzegorz t]

Symetralna jest prostopadła do boku \(\displaystyle{ AB}\) i dzieli go na dwie równe części stąd trójkąt \(\displaystyle{ AKB}\) jest równoramienny i \(\displaystyle{ AK=KB=5}\)

[kondri]

Ok dzięki rozumiem a jak zrobić to drugie?

[Grzegorz t]

2. Zrób rysunek z wpisanym okręgiem o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) w trójkąt prostokątny, poprowadź punkty styczności tego okręgu do boków, np. okrąg jest styczny do boku \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), do boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\)., a do boku \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\).
Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ AD=DO=OF=AF=1}\), \(\displaystyle{ DB=EB, CE=FC}\)
Dalej \(\displaystyle{ \sphericalangle DBO= OBE=30^{\circ}}\) zatem \(\displaystyle{ DB=BE=\frac{OD}{tg30^{\circ}}= \sqrt{3}}\)
Dalej można z tw. Pitagorasa wyliczyć długość boku \(\displaystyle{ AC}\)
\(\displaystyle{ (1+x)^2+(1+ \sqrt{3})^2=(x+ \sqrt{3})^2, FC=CE=x}\) stąd wyliczyć \(\displaystyle{ x}\), a długość boku \(\displaystyle{ AC=1+x}\) , a \(\displaystyle{ BC=x+ \sqrt{3}}\)
Inny sposób: trójkąt \(\displaystyle{ FOC}\) jest prostokątny, zatem \(\displaystyle{ x=\frac{1}{tg15^{\circ}}}\)
pozdrawiam..