Środkowe trójkąta pod kątem prostym

[Marmon]

Środkowe trójkąta ABC poprowadzone z wierzchołków A i B mają długości odpowiednio równe 9 i 12, a przecinają się pod kątem prostym. Oblicz długości boków AB i AC


Tyle zrobiłem. Odcinek AE można łatwo obliczyć z pitagorasa. Na odcinek EC nie mam pomysłu.

ps: jaki ja cienki jestem z planimetrii

[Mersenne]

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie punktem przecięcia się środkowych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) oraz \(\displaystyle{ |AE|=|EC|}\) i \(\displaystyle{ |BD|=|DC|}\). Z treści zadania wiemy, że zachodzi: \(\displaystyle{ |AD|=9}\) i \(\displaystyle{ |BE|=12}\). Z twierdzenia o środkowych trójkąta mamy:

\(\displaystyle{ \frac{|AS|}{|SD|}=2 \iff 2|SD|=|AS| \iff 2|SD|=9-|SD|\iff 3|SD|=9 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff |SD|=3}\)

\(\displaystyle{ |AS|=|AD|-|SD|=9-3=6}\)

Analogicznie:

\(\displaystyle{ \frac{|BS|}{|SE|}=2 \iff 2|SE|=|BS| \iff 2|SE|=12-|SE| \iff 3|SE|=12 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff |SE|=4}\)

\(\displaystyle{ |BS|=|BE|-|SE|=12-4=8}\)

Ponadto wiemy, iż środkowe trójkąta przecinają się pod kątem prostym, stąd mamy:

\(\displaystyle{ (|AS|)^{2}+(|BS|)^{2}=(|AB|)^{2} \iff 6^{2}+8^{2}=(|AB|)^{2} \iff 100=(|AB|)^{2} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff |AB|=10}\)

Analogicznie:

\(\displaystyle{ (|AS|)^{2}+(|SE|)^{2}=(|AE|)^{2} \iff 6^{2}+4^{2}=(|AE|)^{2} \iff 52=(|AE|)^{2} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff |AE|=2\sqrt{13}}\)

\(\displaystyle{ |AC|=|AE|+|EC|=2\sqrt{13}+2\sqrt{13}=4\sqrt{13}}\)

Odp.: \(\displaystyle{ |AB|=10}\), \(\displaystyle{ |AC|=4\sqrt{13}}\)

[Marmon]

Aha no tak... AE = EC mi wszystko wyjaśniło. Poza tym zrobiłem zły rysunek bo środkowe powinny być odwrotnie... Dzięki, zadanie jak się okazuje banalne.
Pzdr