Trapez opisany na kole

[ghostmaster]

Trapez opisany na kole najkrótszy jego bok wynosi 3/2 r ,promien wynosi r obliczyc pole trapezu

Dzieki za pomoc z tym zadaniem

[Tristan]

Czy to aby na pewno są wszystkie dane? Może ja jakiegoś związku nie widzę, ale w/g mnie jednak danych jest za mało. Co do rozwiązania: Z twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt wiemy, że oznaczając boki trapezu jako a, b, c i d otrzyjujemy, że a+c=b+d. Załóżmy, że bok c jest najkrótszy czyli równy \(\displaystyle{ \frac{3}{2}r}\). Pole trapezu możemy opisać wzorem \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}r(a+b+c+d)}\), a podstawiając b+d jako a+c otrzymujemy \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}r 2(a+c)=r(a+\frac{3}{2}r)}\). No i na tym się kończy moja radosna twórczość...

[ghostmaster]

zapomniałem dodać ze trapez jest prosotkątny

[Zlodiej]

No to odrazu inaczej :]...

Niech ABCD będzie trapezem prosotkatnym o kącie prostym DAB oraz o krótszej podstawie CD. Długości boków oznaczmy odpowiednio a,b,c,d. Oraz niech x będzie podstawą trójkąta prostokątnego powstałego przez opuszczenie wysokości z punktu C na podstawe AB.

Wiemy, że d=2r, oraz 2c=3r. Z wyzej opisanej własności wiemy, że:

\(\displaystyle{ 2r+b=\frac{3}{2}r+\frac{3}{2}r+x}\)

Z tw. Pitagorasa mamy: \(\displaystyle{ b=\sqrt{4r^2+x^2}}\)

Czyli mamy równanie:

\(\displaystyle{ 2r+\sqrt{4r^2+x^2}=3r+x}\)

\(\displaystyle{ r^2+2rx+x^2=4r^2+x^2\,\Longleftrightarrow\, x=\frac{3}{2}r}\)

Zatem pole jest równe: \(\displaystyle{ P=\frac{(3r+\frac{3}{2}r)\cdot 2r}{2}=\frac{9}{2}r^2}\)