Podobieństwo

[Agniecha1818]

Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego |AC|=|BC|, jeżeli długośc wysokości CD wynosi h, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długośc r.

[Marmon]

\(\displaystyle{ |AC|=|BC|=a, |AB|=2c}\) (żeby się łatwiej liczyło)
Mamy \(\displaystyle{ r, h}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{p} gdzie P= \frac{2ch}{2a+2c}}\) to
\(\displaystyle{ r= \frac{ch}{a+c}}\) to
\(\displaystyle{ c= \frac{ra}{h-r}}\)
Wysokość pada na |AB| pod kątem prostym więc możemy użyć Tw. Pit. dla boków a, c, h
\(\displaystyle{ a ^{2} = h ^{2} + (\frac{ra}{h-r}) ^{2}}\)
Dalej po przekształceniach mamy \(\displaystyle{ a}\) i o ile się nigdzie nie rąbnąłem to

\(\displaystyle{ a= \frac{(h-r) \sqrt{h(h-2r)} }{h-2r}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{r}{h-r} * a}\)
\(\displaystyle{ 2c=\frac{2r \sqrt{h(h-2r)} }{h-2r}}\)
pzdr

[Agniecha1818]

Dziękuję Bardzo pozdrawiam

[gz_19]

mógłby ktoś wytłumaczyć po kolei jak otrzymać a z tego równania z tw. pitagorasa

[anna_]

\(\displaystyle{ a ^{2} = h ^{2} + (\frac{ra}{h-r}) ^{2}\\
a^2=h ^{2} + (\frac{r^2a^2}{(h-r)^2}\\
a^2 -\frac{r^2a^2}{(h-r)^2}=h^2\\
a^2(1-\frac{r^2}{(h-r)^2})=h^2\\
a^2 \frac{(h-r)^2-r^2}{(h-r)^2}=h^2\\
a^2 \frac{h^2-2rh+r^2-r^2}{(h-r)^2} =h^2\\
a^2 \frac{h^2-2rh}{(h-r)^2}=h^2 \ /:\frac{h^2-2rh}{(h-r)^2}\\
a^2= \frac{h^2}{\frac{h^2-2rh}{(h-r)^2}}\\
a^2= \frac{h^2(h-r)^2}{h^2-2rh}\\
a^2= \frac{h^2(h-r)^2}{h(h-2r)}\\
a^2= \frac{h(h-r)^2}{h-2r}\\
a= \sqrt{\frac{h(h-r)^2}{h-2r}}\\
a= \frac{ \sqrt{h} (h-r)}{ \sqrt{h-2r} }}\)
mnożysz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{h-2r}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{(h-r) \sqrt{h(h-2r)} }{h-2r}}\)

[gz_19]

Dzięki wielkie !;D