dane są punkty A=(-2,-3) oraz B=(6,11). Punkt B należy do prostej o równianiu \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+13=y}\). Wyznacz taki punkt C należący do tej prostej, aby kąt ACB miała miarę pi/2 radiana. Sprawdź, czy w czworokąt o kolejnych wierzchołkach ABCD można wpisać okrąg, jeżeli D=(-17,2)
Bardzo prosze o rozwiazanie... jezeli nie trafilem w temat lub nie popisałem sie umiejetnoscia posługiwania sie LaTeX prosze o przymkniecie oka ponieważ to zadanie jest mi potrzebne na jutro... a mam problemy z tym zadaniem dzieki z gory pozdrawiam
zadanie z matury:)
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
zadanie z matury:)
Kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=90^o}\) Zatem musimy znaleźć takie punkt C, który leży i na prostej \(\displaystyle{ k}\) (\(\displaystyle{ k: y=-\frac{1}{3}x+13}\)) i na prostej \(\displaystyle{ l}\)prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ l: y=a_1x+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1=\frac{-1}{-\frac{1}{3}}=3}\). Wiemy także, że na tej prostej leży punt A=(-2,-3), więc:
\(\displaystyle{ -3=a_1 (-2)+b \iff b=3}\), czyli \(\displaystyle{ l: y=3x+3}\)
Wykorzstując wyliczone przez nas równania prostych mamy, że:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+13=3x+3 \iff x=3}\) oraz \(\displaystyle{ y=3\cdot 3+3=12}\), zatem\(\displaystyle{ C=(3,12)}\)
Aby sprawdzić czy w czworokąt ABCD można wpisac okrąg wystarczy policzyć długości boków AB, BC, CD, DA najlepiej uzywając do tego wzoru \(\displaystyle{ d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\) i sprawdzic czy zachodzi równość \(\displaystyle{ |AB|+|DC|=|AD|+|BC|}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ l: y=a_1x+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1=\frac{-1}{-\frac{1}{3}}=3}\). Wiemy także, że na tej prostej leży punt A=(-2,-3), więc:
\(\displaystyle{ -3=a_1 (-2)+b \iff b=3}\), czyli \(\displaystyle{ l: y=3x+3}\)
Wykorzstując wyliczone przez nas równania prostych mamy, że:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{3}x+13=3x+3 \iff x=3}\) oraz \(\displaystyle{ y=3\cdot 3+3=12}\), zatem\(\displaystyle{ C=(3,12)}\)
Aby sprawdzić czy w czworokąt ABCD można wpisac okrąg wystarczy policzyć długości boków AB, BC, CD, DA najlepiej uzywając do tego wzoru \(\displaystyle{ d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\) i sprawdzic czy zachodzi równość \(\displaystyle{ |AB|+|DC|=|AD|+|BC|}\)