Długości promieni

[kur4s]

na boku BC trojkata rownobocznego ABC obrano punkt D tak ze CD : DB = 2 : 1 . oblicz sinusy katow CAD i DAB oraz stosunek dlugosci promieni okregow opisanych na trojkatach ACD i ABD

[shinga]

Ok, więc zacznijmy od tego że w trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę 60 stopni. Oznaczmy każdy bok jako \(\displaystyle{ a}\) czyli

\(\displaystyle{ |AB|=|BC|=|AC|=a}\) i jak wynika z danych w zadaniu \(\displaystyle{ |DB|= \frac{1}{3}a}\) i \(\displaystyle{ |DC|= \frac{2}{3}a}\)

Teraz posługując się twierdzeniem cosinusów dla trójkąta DAB obliczamy długość odcinka AD:

\(\displaystyle{ |AD|=\sqrt{(\frac{1}{3}a)^2+a^2-2*\frac{1}{3}a*a*\frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ |AD|= \frac{\sqrt{7}}{3}a}\)

teraz z twierdzenia sinusów dla trójkąta ADC obliczam sinus kąta CAD:

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{2}{3} a}{\sin \angle ACD}= \frac{ \frac{\sqrt7}{9}a }{ \frac{\sqrt3}{2} }}\)

z tego \(\displaystyle{ \sin \angle ACD= \frac {\sqrt21}{7}}\)

analogicznie obliczasz sinus kąta DAB korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie DAB

Co do stosunku promieni. Z tw sinusów dla trójkąta ADC:

\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{\sin \angle DCA}= 2R_{1}}\) gdzie R1 - to długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

z tw sinusów dla trójkąta ABD:

\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{\sin \angle ABD}=2R_{2}}\) ale ponieważ



\(\displaystyle{ \angle DCA=\angle ABD}\) to

\(\displaystyle{ R_{1}=R_{2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ \frac{R_{1}}{R_{2}}=1}\)