okrąg wpisany w trapez

[katrin_17]

W trapez o kątach ostrych 30 i 60 stopni wpisano okrąg o promieniu r=1. Oblicz długośc podstaw tego trapezu.

[Viathor]

skoro \(\displaystyle{ r=1}\) to \(\displaystyle{ h=2}\)
teraz z funkcji tryg można policzyć ramiona :

\(\displaystyle{ sin30^o= \frac{2}{a} a=4 \\
sin60^o= \frac{2}{b} b= \frac{4 \sqrt{3} }{3}}\)

Skoro w ten trapez można wpisać okrąg, to \(\displaystyle{ a+b=c+d}\)
\(\displaystyle{ d=c+x+y}\) (x i y to podstawy trójkątów z których szukaliśmy ramion)

Liczymy x i y :

\(\displaystyle{ cos30^o= \frac{x}{a} x=2 \sqrt{3} \\
cos60^o= \frac{y}{b} y= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\)

I wracając do \(\displaystyle{ a+b=c+d}\)

\(\displaystyle{ 4+ \frac{4 \sqrt{3} }{3} =2 \sqrt{3} + \frac{2 \sqrt{3} }{3} +2c\\}\)

\(\displaystyle{ c=2- \frac{2 \sqrt{3} }{3}\\
d=c+x+y \\
d= 2+2 \sqrt{3}}\)

pozdr