Przekrój ostrosłupa

[kugelsicher]

Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek S jest trójkątem równobocznym o polu K=36pierwiastek z 3 cm kwadratowego. Oblicz V i pole całkowite tego ostrosłupa

[MagdaW]

Obliczasz długość boku trójkąta będącego przekrojem (ze wzoru na h tr. równobocznego albo trygonometrii), a=12(cm). Teraz zauważ, że jest to przekątna kwadratu będącego podstawą, zatem bok tego kwadratu ma dł. \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\). Wysokość ścian bocznych policzysz z twierdzenia Pitagorasa (\(\displaystyle{ 3 \sqrt{14}}\), a dalej już prosto.

Mam nadzieję, że się nie pomyliłam, bo nie mam pod ręką kartki.

Edit:
Zapomniałam o wysokości ostrosłupa- \(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}}\)

[lukasz1804]

Oznaczmy \(\displaystyle{ a}\)- krawędź podstawy, \(\displaystyle{ b}\)- krawędź boczna, \(\displaystyle{ h}\)- wysokość ściany bocznej, \(\displaystyle{ H}\)- wysokość ostrosłupa.
Z założenia, że przekrój jest trójkątem równobocznym wynika, że \(\displaystyle{ b=a\sqrt{2}}\). Ponadto \(\displaystyle{ K=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}}\), więc \(\displaystyle{ b= 12\ cm}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ a=6\sqrt{2}\ cm}\). Co więcej, \(\displaystyle{ H}\) jest wysokością trójkąta w przekroju, czyli \(\displaystyle{ H=\frac{b\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\ cm}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa mamy \(\displaystyle{ V=\frac{a^2H}{3}=144\sqrt{3}\ cm^3}\).
Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy także \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}=3\sqrt{14}\ cm}\).
Pole ściany bocznej wynosi \(\displaystyle{ P_1=\frac{ah}{2}=18\sqrt{7}\ cm^2}\), więc pole P powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe \(\displaystyle{ P=a^2+4P_1=72(1+\sqrt{7})\ cm^2}\).