Witam.
Proszę o pomoc z zadaniem
"W trapezie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Pole trójkąta ABO jest równe 27, a pole trójkąta CDO 3. Oblicz pole trapezu ABCD"
pozdrawiam
Pole trapezu
-
alchemik
- Użytkownik
- Posty: 285
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 65 razy
Pole trapezu
Trójkąty OBA i ODA mają taką samą wysokość poprowadzoną odpowiednio na podstawy OB i OD. Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw:
\(\displaystyle{ \frac{P_{BOA}}{P_{DOA}}= \frac{|OB|}{|OD|}}\)
Analogicznie: \(\displaystyle{ \frac{P_{BOC}}{P_{DOC}}= \frac{|OB|}{|OD|}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{P_{BOA}}{P_{DOA}}=\frac{P_{BOC}}{P_{DOC}} \iff P_{BOA} P_{DOC} = P_{DOA} P_{BOC}}\)
Teraz warto zauważyć, że trójkąty ABD i ABC mają taką samą podstawę AB oraz takie same wysokości, a więc pola są równe: \(\displaystyle{ P_{BOA}+P_{DOA}= P_{BOA} + P_{BOC} \iff P_{DOA}= P_{BOC}}\)
Wracając do wcześniejszej równości, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{BOC}^{2}=P_{BOA} P_{DOC}}\)
Uwzględniając dane:
\(\displaystyle{ P_{BOC}=9 \\ P_{ABCD}=P_{AOB}+P_{BOC}+P_{COD}+P_{DOA}=27+9+3+9=48}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{BOA}}{P_{DOA}}= \frac{|OB|}{|OD|}}\)
Analogicznie: \(\displaystyle{ \frac{P_{BOC}}{P_{DOC}}= \frac{|OB|}{|OD|}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{P_{BOA}}{P_{DOA}}=\frac{P_{BOC}}{P_{DOC}} \iff P_{BOA} P_{DOC} = P_{DOA} P_{BOC}}\)
Teraz warto zauważyć, że trójkąty ABD i ABC mają taką samą podstawę AB oraz takie same wysokości, a więc pola są równe: \(\displaystyle{ P_{BOA}+P_{DOA}= P_{BOA} + P_{BOC} \iff P_{DOA}= P_{BOC}}\)
Wracając do wcześniejszej równości, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P_{BOC}^{2}=P_{BOA} P_{DOC}}\)
Uwzględniając dane:
\(\displaystyle{ P_{BOC}=9 \\ P_{ABCD}=P_{AOB}+P_{BOC}+P_{COD}+P_{DOA}=27+9+3+9=48}\)