Znaleźć kres dolny liczb postaci
\(\displaystyle{ \frac{l^2}{S}}\)
gdzie l i S oznaczają odpowiednio obwód i pole wielokąta.
Kres dolny
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Kres dolny
Skorzystajmy z faktu, że z figur o ustalonym obwodzie największe pole ma koło. W szczególności znaczy to, że w każdym wielokącie rzeczony stosunek jest większy niż takiż stosunek w kole, czyli: \(\displaystyle{ \frac{4\pi^2r^2}{\pi r^2} =4\pi}\).
Ponieważ żądany stosunek nie zmienia się przy jednokładności, ustalmy sobie obwód \(\displaystyle{ l}\) i wskażmy taki ciąg wielokątów, dla których żądany stosunek będzie dążył do stosunku w kole, czyli do \(\displaystyle{ 4\pi}\). Będą to wielokąty foremne o obwodzie \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny o obwodzie \(\displaystyle{ l}\) ma pole równe:
\(\displaystyle{ S_n=n\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{l}{n} \cdot \frac{l}{2n}\cdot \cot \frac{\pi}{n}=
\frac{l^2}{4\pi}\cdot \cos \frac{\pi}{n} \cdot \frac{\frac{\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}} \longrightarrow \frac{l^2}{4\pi}}\)
I to koniec, bo skoro \(\displaystyle{ \frac{l^2}{S_n} \longrightarrow 4\pi}\) (a to właśnie pokazaliśmy), to znaczy, że ów stosunek może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ 4\pi}\), czyli kres dolny na pewno nie jest większy od tej liczby. Ponieważ dodatkowo stosunek w wielokącie jest zawsze większy od \(\displaystyle{ 4\pi}\), więc dokładnie tyle wynosi kres dolny.
Q.
Ponieważ żądany stosunek nie zmienia się przy jednokładności, ustalmy sobie obwód \(\displaystyle{ l}\) i wskażmy taki ciąg wielokątów, dla których żądany stosunek będzie dążył do stosunku w kole, czyli do \(\displaystyle{ 4\pi}\). Będą to wielokąty foremne o obwodzie \(\displaystyle{ l}\).
\(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny o obwodzie \(\displaystyle{ l}\) ma pole równe:
\(\displaystyle{ S_n=n\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{l}{n} \cdot \frac{l}{2n}\cdot \cot \frac{\pi}{n}=
\frac{l^2}{4\pi}\cdot \cos \frac{\pi}{n} \cdot \frac{\frac{\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}} \longrightarrow \frac{l^2}{4\pi}}\)
I to koniec, bo skoro \(\displaystyle{ \frac{l^2}{S_n} \longrightarrow 4\pi}\) (a to właśnie pokazaliśmy), to znaczy, że ów stosunek może być dowolnie blisko \(\displaystyle{ 4\pi}\), czyli kres dolny na pewno nie jest większy od tej liczby. Ponieważ dodatkowo stosunek w wielokącie jest zawsze większy od \(\displaystyle{ 4\pi}\), więc dokładnie tyle wynosi kres dolny.
Q.