2 symetryczne okręgi

[wnoros89]

Okręgi o równaniach \(\displaystyle{ (x+4) ^{2} +(y-3) ^{2} =25}\) i \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2} -12x -14y +60=0}\) są symetryczne względem prostej \(\displaystyle{ l}\) .Wyznacz równanie tej prostej

[Justka]

Środek pierwszego okręgu leży w punkcie A=(-4,3), zaś drugiego w punkcie B=(6,7) ( ponieważ jego równanie można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x^2+y^2-12x-14y+60=0 \iff (x-6)^2+(y-7)^2=25}\)). Wystarczy wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do odcinka AB i przechodzącej przez jego środek , czyli przez punkt K=(1,5).

[frej]

Drugi okrąg ma postać kanoniczną:
\(\displaystyle{ (x-6)^2+(y-7)^2=25}\)
Prosta \(\displaystyle{ y=ax+b}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (-4,3)}\) i \(\displaystyle{ (6,7)}\) zatem powstaje nam układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=-4a+b \\7=6a+b \end{cases}}\),
z którego wychodzi, że prosta ta ma równanie \(\displaystyle{ y=\frac{2}{5}x+\frac{23}{5}}\).
Symetralna, czyli szukana prosta \(\displaystyle{ l}\), jest prostopadła to wcześniejszej prostej, więc iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(\displaystyle{ -1}\).
Prosta \(\displaystyle{ l}\) ma więc równanie
\(\displaystyle{ y_1=-\frac{5}{2}x+b_1}\) i przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (\frac{-4+6}{2},\frac{3+7}{2})=(1,5)}\),więc jest
\(\displaystyle{ 5=-\frac{5}{2}+b_1 b_1=7,5}\).

Szukane równanie prostej \(\displaystyle{ l}\) na wzór:
\(\displaystyle{ y_1=-2,5x+7,5}\)