Cześć,
nie bardzo wiem jak się zabrać za to zadanie (maturalne za 4pkt):
Dane są punkty \(\displaystyle{ A(3,0)}\) i \(\displaystyle{ B(-3,0)}\). Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez wszystkie punkty płaszczyzny, których odległość od punktu A jest 2 razy większa od odległości od punktu B. Jaką figurę opisuje krzywa?
Pozdrawiam.
Równanie krzywej
-
frej
Równanie krzywej
Punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) leży na tej krzywej, zatem
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-3)^2 +y^2}=2\sqrt{(x+3)^2+y^2}}\) ( odległość, tw. Pitagorasa )
\(\displaystyle{ x^2+y^2+9-6x=4(x^2+y^2+6x+9)=4x^2+4y^2+24x+36}\)
\(\displaystyle{ 0=3x^2+3y^2+27+30x=3(x^2+y^2+9+10x)}\)
\(\displaystyle{ 0=x^2+y^2+9+10x}\)
\(\displaystyle{ (x+5)^2+y^2=4^2}\)
Czyli jest to okrąg.
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-3)^2 +y^2}=2\sqrt{(x+3)^2+y^2}}\) ( odległość, tw. Pitagorasa )
\(\displaystyle{ x^2+y^2+9-6x=4(x^2+y^2+6x+9)=4x^2+4y^2+24x+36}\)
\(\displaystyle{ 0=3x^2+3y^2+27+30x=3(x^2+y^2+9+10x)}\)
\(\displaystyle{ 0=x^2+y^2+9+10x}\)
\(\displaystyle{ (x+5)^2+y^2=4^2}\)
Czyli jest to okrąg.
-
nwnuinr
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 245 razy
- Pomógł: 2 razy
Równanie krzywej
wynik jest taki jak w książce, ale zobrazowałem to sobie w ukł. współ. i wydaje mi się, że to powinno mieć więcej rozwiązań. Przecież gdy będzie ten okrąg o środku w punkcie takim samym jak punkt A to też odległość będzie dwa razy dłuższa
-
frej
Równanie krzywej
Niestety nie masz racji, ponieważ to nie będzie zachodziło dla każdego punktu tego okręgu. Jeśli zaś dla pewnego punktu należącego do Twojego okręgu warunek będzie spełniony, to ten punkt będzie też należał do "mojego" okręgu.
-
nwnuinr
- Użytkownik
- Posty: 375
- Rejestracja: 12 mar 2008, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Polski
- Podziękował: 245 razy
- Pomógł: 2 razy
Równanie krzywej
a jeszcze mnie interesuje przejście z przedostatniej linijki do ostatniej:
\(\displaystyle{ 0=x^{2}+y^{2}+9+10x \\
(x+5)^{2}+y^{2}=4^{2}}\)
jest jakiś sposób na takie przekształcenie czy trzeba "celować" liczbami? Ciężko mi wpaść na tego typu przekształcenia.
\(\displaystyle{ 0=x^{2}+y^{2}+9+10x \\
(x+5)^{2}+y^{2}=4^{2}}\)
jest jakiś sposób na takie przekształcenie czy trzeba "celować" liczbami? Ciężko mi wpaść na tego typu przekształcenia.
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Równanie krzywej
\(\displaystyle{ x^2+10x+y^2+9=0}\)
Zwijamy wyrażenia z x do postaci: \(\displaystyle{ (x-a)^2}\). Więc mamy:
\(\displaystyle{ (x+5)^2-25+y^2+9=0 \\ \\
(x+5)^2+y^2=16\\ \\
(x+5)^2+y^2=4^2}\)
Zwijamy wyrażenia z x do postaci: \(\displaystyle{ (x-a)^2}\). Więc mamy:
\(\displaystyle{ (x+5)^2-25+y^2+9=0 \\ \\
(x+5)^2+y^2=16\\ \\
(x+5)^2+y^2=4^2}\)
-
frej
Równanie krzywej
Sposobem jest dopełnianie do kwadratunwnuinr pisze:jest jakiś sposób na takie przekształcenie czy trzeba "celować" liczbami? Ciężko mi wpaść na tego typu przekształcenia.
Masz \(\displaystyle{ x^2+10x+9}\) i teraz dwa pierwsze wyrazy przypominają Ci wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (x+5)^2=x^2+10x+25}\), bo tutaj dwa pierwsze wyrazy są identyczne. Pamiętaj że liczby możesz dodawać bez problemu, więc wygodne jest jak masz \(\displaystyle{ x^2+px}\) dodać \(\displaystyle{ (\frac{p}{2})^2}\) , bo powstanie Ci \(\displaystyle{ x^2+2\frac{p}{2} x+(\frac{p}{2})^2=(x+\frac{p}{2})^2}\).