trapez prostokątny

[robin5hood]

Dany jest trapez prostokątny \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ \angle A = \angle D=90^\circ}\) i \(\displaystyle{ AB > CD}\)
Okrąg o danym promieniu \(\displaystyle{ R}\) przechodzący przez punkty \(\displaystyle{ A,C}\) i \(\displaystyle{ D}\) przecina odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) tak, że \(\displaystyle{ AM : AB = CN : CB = 1 : 3}\). Obliczyć pole trapezu.

[klaustrofob]

jedynie wskazówka: BC i BA są siecznymi okręgu. w własności siecznych wynika, że BN*BC=BM*BA, skąd dalej BA=BC i w konsekwencji AM=CN itd. dalej, wynika stąd również, że MN||AC. ponieważ AC=2R, to MN=4/3*R.

[JHN]

1. Zrób ładny rysunek!
2. Z tw. o odcinkach siecznych i treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ MB=NB}\)
3. Przyjmijmy oznaczenia: \(\displaystyle{ AD=h>0\wedge DC=b>0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ AM=b\wedge MB=2b\wedge BC=3b}\)
4. Z \(\displaystyle{ \Delta ACD;\,\Delta MBC}\) prostokątnych i tw. Pitagorasa mamy układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}h^2+b^2=(2R)^2\\h^2+(2b)^2=(3b)^2\end{array}}\)
którego rozwiązanie wyznaczy jednoznacznie długości potrzebne do obliczenia pola trapezu w oparciu o powszechnie znany wzór
Pozdrawiam