oblicz sumę kwadratów środkowych trójkąta

[wnoros89]

Dany jest trójkąt o bokach długości 4 ,6, 8
oblicz sumę kwadratów środkowych tego trójkąta

[frej]

Ze środkowymi padającymi na przyprostokątne nie będzie problem,u, bo powstaną trójkąty prostokątne. Jeżeli chodzi o trzecią środkową, to polecam tw. Stewarta. Jeśli nie znasz, powinno być gdzieś na wiki .

[Hallena]

Wzór na środkową
\(\displaystyle{ d=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}\)
suma kwadratów środkowych jest więc równa
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}(2{\cdot}4^{2}+2{\cdot}6^{2}-8^{2})+\frac{1}{4}(2{\cdot}4^{2}+2{\cdot}8^{2}-6^{2})+\frac{1}{4}(2{\cdot}6^{2}+2{\cdot}8^{2}-4^{2})}\)

[frej]

wzór na środkową, który podała Hallena bardzo łatwo wyprowadzić przy pomocy właśnie twierdzenia Stewarta

[lukasz1804]

Najlepiej skorzystać z twierdzenia kosinusów. Oznaczmy kąty w trójkącie przez \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) a środkowe przez \(\displaystyle{ x,y,z}\).
Mamy \(\displaystyle{ 4^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ x^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cos\alpha}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ z^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cos\alpha}\). Podobnie \(\displaystyle{ 6^2=4^2+8^2-2\cdot 4\cdot 8\cos\beta}\) oraz \(\displaystyle{ y^2=2^2+8^2-2\cdot 2\cdot 8\cos\beta}\).