trójkąt

[szymek12]

Trójkąt o bokach 8cm, 10cm, 12cm podzielono prostą równoległą do najdłuższego boku tak, że pola otrzymanych figur są równe. Obliczyć obwody tych figur.

[tkrass]

zauważ że jeśli masz dwa trójkąty podobne i ich pola są podobne w skali k, to ich dowolne dwa boki a także obwody są podobne w skali \(\displaystyle{ \sqrt{k}}\)...

[meninio]

Prosta dzieli duży trójkąt o polu \(\displaystyle{ P}\) na mniejszy trójkąt, podobny do dużego (kkk) oraz na trapez. Mniejszy trójkąt i trapez mają te same pole, z czego wynika, że wynoszą one \(\displaystyle{ \frac{1}{2}P}\).
Więc z własności stosunku pól figur podobnych mamy, że:
\(\displaystyle{ k^2=\frac{P}{\frac{1}{2}P}=2 k=\sqrt{2}}\)

Więc odpowiednie boki mniejszego trójkąta są odpowiednio równe"
\(\displaystyle{ \frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}, \frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}, \frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2} Ob=15\sqrt{2}}\)

Odpowiednie boki trpazu mają długość:
\(\displaystyle{ 8-4\sqrt{2}, 12, 10-5\sqrt{2}, 6\sqrt{2} 30-3\sqrt{2}}\)