kwadrat

[robin5hood]

Czy można znaleźć kwadrat o bokach całkowitych i taki punkt ( na płaszczyźnie kwadratu), którego wszystkie \(\displaystyle{ 4}\) odległości od wierzchołków byłyby całkowite?

[Hallena]

Niech kwadrat właściwy - ten główny ma bok długosci n.Rozważmy taki przypadek gdy punkt ten leży na przekątnej kwadratu tak, że kwadrat ten dzieli się na dwa kwadraty - mniejszy i większy i dwa jednakowe prostokąty.
Niech jeden z kwadratów ma długości boków \(\displaystyle{ x\sqrt{2}}\) (gdzie x jest liczbą naturalną) oczywiście mniejszych od długości boków kwadratu właściwego, wówczas jego przekątna ma długość 2x czyli jedna z odległości jest liczbą naturalną. Zaś odległość tego punktu od naprzemianległego wierzchołka jest przekątną drugiego kwadratu a boku \(\displaystyle{ n-x\sqrt{2}}\) wówczas ta przekątna wyniesie \(\displaystyle{ n\sqrt{2}-2x}\) więc jest długością niecałkowitą. Liczę na to, że ktoś włączy się do dyskusji i rozpatrzy inne przypadki.

[snm]

Jeśli dane mamy liczby całkowite dodatnie k,m,n, gdzie m i n są względnie pierwsze, to każdą trójkę pitagorejską (trójkąt prostokątny o bokach całkowitych) możemy zapisać jako a=k(m^2-n^2), b=2kmn c=k(m^2+n^2)

[Hallena]