Czy stała suma?

[mol_ksiazkowy]

Dany jest pewien okrag na płaszczyanie. i punkt M wewnątzr niego. Rozwazamy wielkosc w jako sume kwadratów długosci wzajemnie prostopadłych cieciw przechodzacych przez M. Czy wielkosc ta , tj w , jest stała (nieza;enza od wyboru M) , a jesli tak to czemu?!

[snm]

Punkt ma leżeć wewnątrz koła czy na okręgu? Jeśli wewnątrz, teza jest nieprawdziwa

[frej]

Jeśli jest na okręgu, to masz trójkąt prostokątny i odpowiedź \(\displaystyle{ 4R^2}\)

[Hallena]

Rozpatrzmy dwa przypadki
w pierwszym przypadku - możemy poprowadzić nieskończenie wiele par cięciw prostopadłych wzajemnie przechodzących przez środek koła i wówczas wielkość ta będzie stała. - patrz rysunek - czarne odcinki
w drugim przypadku narysoane są dwie pary cięciw - w każdej parze jedna cieciwa do drugiej jest prostopadła i teraz jeśli porównać parę czerwoną i żółtą - gdzie punkt przecięcia jest ten sam - i parę czarną - to suma kwadratów będzie różna.

AU

w dodatku całkiem nie chcący można zauważyć dwie kolejne pary cięciw takowoż przecinający się - nie powiem gdzie

[klaustrofob]

i z uwagi freja widać, że nie jest stała - jeżeli M jest środkiem kola, to suma ta wynosi \(\displaystyle{ (2R)^2+(2R)^2=8R^2}\), tymczasem w pobliżu brzegu koła jest bliska \(\displaystyle{ 4R^2}\)