Niewykonalny banał -obl. pole prostokąta. Przekątne, ich kąt

[wielkidemonelo]

Witam,
Oblicz pole prostokąta, którego przekątne długości 10 cm przecinają się pod kątem 45.

Wiem, że przek. dzielą się na pół, w "środku" prostokąta przekątne tworzą kąty: 2x135 i 2x45= 360 ;s
Można sobie tam postawić wysokość, wyliczyć kąty, ale sinus 67,5= 0,92~~~~
sin 67,5 = \(\displaystyle{ \frac{h}{5}}\)(można sobie policzyć z tego obie przyprostokątne) i wychodzą liczby z kosmosu. W ogóle jakaś paranoja. Proszę o pomoc, bo mnie serce ściska, że takiego zadania nie potrafię zrobić.
No chyba, że da się przedstawić sin 67,5 w ułamku z pierwiastkiem?

[Qń]

Wskazówka: przekątne dzielą prostokąt na cztery trójkąty i do tego o równych polach. Zatem jego pole to:
\(\displaystyle{ S=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 5 5 \sin 45^o}\)

A \(\displaystyle{ \sin 67.5^o}\) też daje się dokładnie obliczyć.

Q.

[wielkidemonelo]

Tak? to ile to jest sin 67,5?;p i Czy są kalkulatory, które to "dokładnie" wyliczają? Może link?
Byłbym wdzięczny.

[Rogal]

Jakbyś poszukał, to jest w Kompendium Pitagorasa, w temacie bodajże ze wzorami, czy z trygonometrią, nie pamiętam.
\(\displaystyle{ \sin \frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \sin 67,5^o = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)

Wskazówka: użyj wzoru \(\displaystyle{ \cos 2\alpha = 1- 2\sin^2 }\)

Q.