kwadrat

[robin5hood]

W kwadracie ABCD punkt K leży na boku C, a dwusieczna kąta BAK przecina bok BC w punkcie L. Pokazać, że lBLl+lKDl=lAK|

[snm]

Odetnij sobie kwadrat ABL i przenieś go tak, by bok AB leżał na boku AD, a BL na przedłużeniu boku CD. Oznaczmy kąt BAL=kąt CAK=a. Nasz przeniesiony trójkąt nazywamy ADL'. Mamy wtedy kąt DAL' o mierze a (przed przeniesieniem byl to kat BAL). Miara kąta KAD wynosi 90-2a, a miara kąta BLA=miara kąta DL'A=90-a. Rozpatrzmy trójkąt KAL'. Miara kąta KL'A wynosi 90-a, a miara kąta KAL'=90-2a+a=90-a, czyli trójkąt jest równoramienny i KL'=KA. Ale KL'=KD+DL'=KD+BL, co kończy dowód