Trzy okręgi i współlinowość punktów ich przecięcia

[Kaczor91]

Ostatnio, całkiem przypadkowo, poczyniłem taką obserwację:
Dwa okręgi \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\), o takich samych promieniach, przecinają się w punktach A i B. Trzeci okrąg \(\displaystyle{ O_{3}}\), o środku w punkcie A, przecina okrąg \(\displaystyle{ O_{1}}\) w punktach C i D, a okrąg \(\displaystyle{ O_{2}}\) w punktach E i F.
Teza: Punkty B, D, E oraz B, F, C są współliniowe.
Rysunku wstawić oczywiście nie mogę, bo jestem nowy.

Nijak nie mogę tego udowodnić. Może ktoś z was ma jakiś pomysł.

Aktualizaja:
Znalazłem dowód i właśnie pracuję nad jego zredagowaniem, a ciężko będzie bez rysunku. Umieszczajcie jednak swoje pomysły, jeśli chcecie .

Aktualizacja 2:
Dobra, gafa, to już drugi mój dowód, w którym korzystam z tezy .

[limes123]

W sumie proste ale fajne:D przedstawić Ci mój pomysł czy jeszcze chcesz nad tym trochę pomyśleć?

[Kaczor91]

Tak, poproszę. W końcu po to to tutaj umieściłem .

[limes123]

Napiszę pare równości kątów a ty zastanów się z czego one wynikają. Dowód dla D,B,E (drugi analogicznie). Łączę punkt B z D i z E, nie zakładając, że są współliniowe. Mamy:
\(\displaystyle{ \sphericalangle BAE= BAC = BDC}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle BEA= BCA = BDA}\), czyli
\(\displaystyle{ \sphericalangle AFE = ADC}\) a ponieważ \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC = ACD}\) to punkty B,D,E są współliniowe. Jak coś jeszcze niejasne to pisz.

[Kaczor91]

W związku z tym, że nie mogę pokazać rysunku, mogło dojść do dwuznaczności jeśli chodzi o pozycje punktów C, D, E, F, ale sądzę, że nie powinno to przysporzyć wielu problemów bo inaczej ustawione po prostu nie mogą być współliniowe z B.

Druga równość to niestety nieprawda:
\(\displaystyle{ \sphericalangle BCA BDA}\)
raczej:
\(\displaystyle{ \sphericalangle BCA = 180^{\circ} - BDA}\)

I tak dalej nie rozumiem po co tyle tych równości i niby dlaczego z nich miałaby wynikać ta współliniowość. Troszkę więcej może powiedz.

Aktualizacja:
Dodatkowa zauważyłem, że \(\displaystyle{ \sphericalangle ADE}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle AFC}\) są stałe niezależnie od promienia okręgu \(\displaystyle{ O_{3}}\). Nie wiem jeszcze dlaczego.

Aktualizacja 1.5:
Jeśli udałoby się udowodnić to powyższe, to zostałaby udowodniona tez teza z pierwszego postu. No chyba, że ta została już udowodniona przez limesa, tylko ja nie rozumiem jego dowodu .

[limes123]

BCA i BDA to kąty wpisane oparte na tym samym łuku (przynajmniej u mnie) więc jak najbardziej są równe;] Zauważ, że z ostatniej równości wynika, że kąty ABD i AFE są równe. Ponieważ czworokąt ABEF jest wpisany w okrąg, to jeśli przedłużymy bok BE za punkt B to otrzymamy właśnie kąt AFE (czyli ABD). Zrób sobie rysunek i pomyśl czemu.
Co do Twojego pytania. Są stałe, bo są oparte na tych samych łukach ale to możesz chyba powiedzieć dopiero po udowodnieniu tezy. Bez tezy masz tylko równości kątów AFB AEB ACB ADB.

[Kaczor91]

Co do Twojego pytania. Są stałe, bo są oparte na tych samych łukach ale to możesz chyba powiedzieć dopiero po udowodnieniu tezy.

To akurat wiem, dlatego chciałbym to udowodnić bez korzystania z wcześniejszej tezy, wtedy ta musiałaby się okazać prawdziwa .

Aj, no wszystko prawda, tylko my rozpartujemy różne przypadki. Tak się skłąda, że dla promienia okręgu \(\displaystyle{ O_{3}}\) większego od |AB|, twierdzenie również działa. Nie... poczekaj, jeśli Twój promień jest rzeczywiście większy od |AB| to niestety pierwsza równośc się nie zgadza, bo podobnie ja w poprzednim przypadku w drugiej, kąty \(\displaystyle{ \sphericalangle BDC}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC}\) nie sa oparte na tych samych łukach, a na łukach dopełniających sie do okręgu, inaczej, są przeciwległymi kątami czworokąta wpisanego w okrąg.

No cóż, albo ja się pogubiłem, albo mamy całkiem inne rysunki, szkoda, że jeszcze nie moge zamieścić swojego na forum .

[limes123]

To akurat wiem, dlatego chciałbym to udowodnić bez korzystania z wcześniejszej tezy, wtedy ta musiałaby się okazać prawdziwa .

wcale nie.
Widzę, że się nie rozumiemy. Przypadki:
I Promień trzeciego okręgu mniejszy od AB. Łączymy ze sobą punkty C z B i C z F, nie zakładając, że są współliniowe. \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA= CDA}\). G - punkt przecięcia CD z EF. \(\displaystyle{ \sphericalangle AGD = BGC = EGB = AGF= ACF}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \sphericalangle CBA = CDA}\), to kąt BCF ma miarę 180 stopni, bo suma kątów w nim zawartych jest równa 180 stopni (są to kąty trójkąta ADG).
II Promień trzeciego okręgu jest równy AB - trywialne.
III Promień trzeciego okręgu jest większy od AB - przedstawione pare postów wyżej.

[Kaczor91]

Nie, no musimy mieć inne rysunki bo u mnie\(\displaystyle{ \sphericalangle ACF}\) jest przynajmniej kilka razy mniejszy od kątów, które według przedstawionej przez Ciebie równości, są mu równe. Poza tym \(\displaystyle{ \sphericalangle BCF}\) musi mieć miarę 0, jeśli ma to udowadniać tezę, ale domyślam się, że to, co u Ciebie jest kątem BCF, u mnie widnieje jako BFC.

Co do tego "wcale nie", otóż tak . (Wszystko odnosi się także do "drugiej strony", ponieważ operujemy na figurze symetrycznej)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADE = DEA}\), ponieważ są to kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego, o promieniach trzeciego okręgu, jako ramionach.
Jeśli okazałoby się, że powyższe kąty są stałe niezależnie od trzeciego promienia i dodatkowo wierzchołek E jednego z nich porusza się po okręgu, to znaczy, że jest również oparty na jakimś niezmiennym wycinku tego okręgu. Wiemy, że A jest niezmienne w zależności od trzeciego promienia, a ponadto ramię \(\displaystyle{ \sphericalangle AED}\) oczywiście przechodzi przez punkt D. Skoro proste CF i ED są symetryczne względem AB i nie równoległe (chyba nie trzeba dowodu na to), to muszą się przeciąć na osi AB, a dodatkowo na (odpowiednim dla siebie) okręgu, bo tworzę kąt na nim opisany. Wychodzi więc na to, że jedynym takim punktem przecięcia jest B (A jest poza konkursem, chyba, że trzeci promień ma miarę 0). Wiemy więc, że jakaś prosta przechodzi przez E, D i B, a więc są współliniowe.

Wszystko ładnie, tylko najpierw trzeba wykazać, że omawiane kąty są rzeczywiście stałe, a to chyba to nie wypali. Poza tym, chyba i tak mamy inne rysunki, więc...

Aktualizacja:
Dobra, to co napisałem, to bzdura XD.