Romb opisany na okręgu i kłopot z zadaniem...

[Finarfin]

Zadanie wygląda tak:

Wyznaczyc stosunek długosci przekatnych rombu wiedzac, ze stosunek pola koła wpisanego
w ten romb do pola rombu wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\)

[Tristan]

Dłuższa przekątna-f, krótsza-e. Pole koła, to \(\displaystyle{ \pi r^2}\) a pole tego rombu to \(\displaystyle{ ah}\) gdzie h=2r, czyli to pole to \(\displaystyle{ 2ar}\). Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \frac{\pi r^2}{2ar}=\frac{\pi}{5}}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ r=\frac{2}{5}a}\). Czyli wysokość h to \(\displaystyle{ 2r=\frac{4}{5}a}\). Podstawiając do wzoru na pole rombu mamy, że pole to \(\displaystyle{ \frac{4}{5}a^2}\). Prócz tego wiemy, że pole tego robmu możemy zapisać w innej postaci, tj \(\displaystyle{ a^2 sin\alpha}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{4}{5}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{e}{a}=\frac{4}{5}}\). Teraz z tw. Pitagorasa mamy, że \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}e)^2 + (\frac{1}{2}f)^2=(\frac{5}{4}e)^2}\) a z tego już sobie spokojnie wyliczamy stosunek, który jest takowy: \(\displaystyle{ \frac{f}{e}= \frac{sqrt21}{2}}\) jeśli oczywiście niczego nie zmaściłem:)

[Finarfin]

Tristan, rzeczywiście wszystko się zgadza Dzięki.