Dwa zadania-odcinek łączący środki boków

[kluczyk]

1. Wykaż, że w dowolnym czworokącie odcinki KL, MN łączące środki przeciwległych boków, oraz odcinek PR, łączący środki przekątnych, przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w tym pukcie na połowy.

2.Przez wierzchołek równoległoboku prowadzimy dowolną prostą k nie przecinającą równoległoboku i z trzech pozostałych wierzchołków prowadzimy odcinki prostopadłe do tej prostej. Udowodnij, że długość odcinka poprowadzonego ze środkowego wierzchołka równa się sumie długości dwóch pozostałych odcinków prostopadłych . Jak zmieni się twierdznie, jeżeli prosta k przecina równoległobok?

[mol_ksiazkowy]

ad 1 odcinki te maja wspolny srodek, gdyz jest on sródkiem masy czworokata ABCD (gdy punktom A, B, C i D przypisze sie rowne masy)
Def: Jesli mamy układ n punktów \(\displaystyle{ P_j}\) na plaszczyznie OXY, z masami \(\displaystyle{ m_j}\), to środkiem masy ukladu \(\displaystyle{ P_j}\) jest taki punkt G, ze
\(\displaystyle{ \vec OG =\frac{m_1 \vec OP_1+....+m_n \vec OP_n}{m_1+...+m_n}}\)
(gdzie O jest srodkiem ukladu wspolrzednych)

rys

[limes123]

2. Wystarczy poprowadzic prosta rownolegla do k przez przeciwlegly wierzcholek. Nad druga czescia zadania sprobuj pomyslec sam.