Cztery zadania z pól czworokątów.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
SeaXgasT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 cze 2008, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: okolice TL
Podziękował: 1 raz

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: SeaXgasT »

Witam! Przygotowuję się właśnie do sprawdzianu z pól figur. Robię zadania, ale jakoś z tymi pięcioma nie mogę dać sobie rady. Nie wiem najczęściej jak udowodnić prostopadłość przekątnej do ramienia lub czegoś podobnego;) Z góry dziękuję za pomoc!

1. W okrąg o promieniu długości 5 cm wpisano trapez, którego podstawa jest średnicą okręgu. Przekątna trapezu ma długość 8 cm. Oblicz pole tego trapezu.

2. W trapezie równoramiennym dane są: długość ramienia 5 cm, długość przekątnej 12 cm, długość wysokości trapezu \(\displaystyle{ 4\frac{8}{13}}\) cm. Oblicz pole trapezu i pole kołą opisanego na tym trapezie.

3. Obwód czworokąta jest równy 54 cm. W czworokąt ten wpisano koło o promieniu 4 cm. Oblicz pole danego czworokąta.

4. Dany jest kawałek materiału w kształcie czworokąta, którego suma długości dwóch przeciwległych boków jest równa 2,7 m. Z tego kawałka wycinamy koło o średnicy 1 m, styczne do wszystkich boków czworokąta. Oblicz, jaki procent całego materiału stanowią niewykorzystane skrawki, wynik podaj z dokładnością do 0,1 procenta.
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: Wicio »

2)
z pitagorasa wyliczasz dł. dłuższej podstawy

\(\displaystyle{ a=x+y}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} +h ^{2} =c ^{2}}\) gdzie h to wysokośc a c to ramię
\(\displaystyle{ x ^{2} +(4 \frac{8}{13} ) ^{2} =25}\)

Wyliczasz z tego x

Potem liczysz y

\(\displaystyle{ y ^{2} +h ^{2} =d ^{2}}\) gdzie d to nasza przekątna

Jak masz x i y to masz a

Natomiast dł. drugiej podstawy to:
\(\displaystyle{ a-2x}\)

Jak masz dwie podstawy wysokość to obliczasz pole trapezu:
\(\displaystyle{ P= \frac{a+b}{2} h}\)

A jeśli chodzi o okrąg to promień okręgu to połowa przekątnej, więc:
\(\displaystyle{ r=6}\)

a pole to:
\(\displaystyle{ P=\pi r ^{2}}\)
szablewskil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kruszyny
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 21 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: szablewskil »

3) \(\displaystyle{ P=pr=27cm * 4cm=108 cm^{2}}\)
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: Wicio »

4)
\(\displaystyle{ P=pr}\)
\(\displaystyle{ P=2,7 \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=1,35}\)

\(\displaystyle{ P _{o} =\pi r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ P _{o} 3,14 0,25}\)
\(\displaystyle{ P _{o} 0,785}\)

\(\displaystyle{ 1,35-100 }\)
\(\displaystyle{ 0,785-x}\)


\(\displaystyle{ x 58,1 }\)
szablewskil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 261
Rejestracja: 18 maja 2007, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kruszyny
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 21 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: szablewskil »

w 1 to trapez nie jest przypadkiem równoramienny?
Awatar użytkownika
Justka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: Justka »

Tak, jest on równoramienny. Po drugie przekątna tego trapezu nachylona jest pod kątem prostym do ramienia.
Awatar użytkownika
Wicio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1318
Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 561 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: Wicio »

a-dolna podstawa równa 10
b-górna podstawa
d-przekątna
c-ramię równe 6 z pitagorasa obliczone
x-kawałek dolnej podstawy równy \(\displaystyle{ \frac{a-b}{2}}\)
h-wysokość

\(\displaystyle{ x ^{2} +h ^{2} =c ^{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ (10-x) ^{2} +h ^{2} =d ^{2}}\)

Z pierwszego równania wyznaczasz \(\displaystyle{ h ^{2}}\) i podstawiasz do drugiego

\(\displaystyle{ x ^{2} +h ^{2} =c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2} =c ^{2}-x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2} =36-x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ (10-x) ^{2} +h ^{2} =d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (10-x) ^{2} + 36-x ^{2}=64}\)

Powinno wyjść chyba x=3,6

Jak masz x to obliczasz b
\(\displaystyle{ b=a-2x}\)

I podstawiasz do wzoru:
\(\displaystyle{ P= \frac{a+b}{2} h}\)
SeaXgasT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 cze 2008, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: okolice TL
Podziękował: 1 raz

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: SeaXgasT »

Zawsze tak jest, ze przekątna jest nachylona pod kątem prostym do ramienia w trapezie równoramiennym?
Awatar użytkownika
Justka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: Justka »

Nie, nie zawsze, ale akurat w tym przypadku tak jest. Dlatego, że przekątna i ramię trapezu tworzą kąt wpisany oparty na średnicy okręgu, a taki kąt jest zawsze kątem prostym
SeaXgasT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 cze 2008, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: okolice TL
Podziękował: 1 raz

Cztery zadania z pól czworokątów.

Post autor: SeaXgasT »

Wicio> Co do drugiego zadania- pole obliczyłem, wyszło dobrze, natomiast pole koła opisanego powinno mieć \(\displaystyle{ \frac{169}{4} pi}\)

szablewskil> Mógłbyś wyjaśnić skąd się to wzięło?
ODPOWIEDZ