52 zadania z planimetri...

[Lewy2905]

oto 52 zadania z plani metri, mam z nich klasowke i musze je przerobic jednak sam nie dam rady. licze na wasza pomoc, prosze zrobcie ktorekolwiek.

z1. W trójkącie prostokątnym punkt styczności wpisanego okręgu dzieli
przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 12 cm. Wyznacz
przyprostokątne trójkąta.
Odp. 8 i 15 cm


Z.2 W trapezie równoramiennym o długości podstaw 20 i 12 cm środek okręgu
opisanego leŜy na dłuŜszej podstawie. Wyznacz długość przekątnej
i ramienia tego trapezu.
Odp.
8 5,4 5


Z.3 W trapezie równoramiennym długości podstaw mają długość 9 i 21 cm,
a wysokość 8 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.
Odp. 10,625 cm


Z.4 W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6 i 8 cm wpisano kwadrat
mający z trójkątem wspólny kąt prosty. Wyznacz obwód kwadratu
Odp. 96/7


Z.5 Na okręgu o średnicy 15 cm opisano trapez równoramienny, a ramieniu
długości 17 cm. Wyznacz długości podstaw trapezu.
Odp. 9 i 25 cm


Z.6 W trójkącie równoramiennym o długości ramienia 4 cm poprowadzono
środkową ramienia. Wyznacz długość podstawy trójkąta jeśli środkowa ma
długość 3 cm.
Odp. cm
10


Z.7 W równoramienny trójkącie o długości podstawy 16 cm ramię ma długość
10 cm. Wyznacz promień okręgu wpisanego i opisanego oraz odległość
między ich środkami.
Odp. cm
, ,5
8 25
3 3


Z.8 Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość cm, a środkowa
4 2
ramienia ma długość 5 cm. Znaleźć długość ramienia trójkąta.
Odp. 6 cm

Z.9 Cięciwa ma długość 10 cm. Przez jeden koniec cięciwy poprowadzono
styczną do okręgu, a przez drugi sieczną równoległą do tej stycznej. Oblicz
promień okręgu, jeśli odcinek siecznej zawarty w okręgu ma długość
12 cm.
Odp. 6,25 cm


Z.10 Punkt jest oddalony o 7 cm od środka okręgu o promieniu 11 cm. Przez
P
ten punkt poprowadzono cięciwę długości 18 cm. Jakie są długości
odcinków na które punkt dzieli tą cięciwę ?
P
Odp. 12 i 6 cm


Z.11 Wyznacz długości boków i trójkąta , jeśli , a
AB
AC ABC BC =8cm
długości wysokości opuszczonych na boki i mają odpowiednio
AC BC
długość 6,4 i 4 cm.
Odp. cm
41,5


Z.12 W część wspólną dwóch równych kół wpisano romb o przekątnych 12
i 6 cm. Wyznacz promień tych kół.
Odp. 7,5 cm


Z.13 Środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość m i dzieli kąt
prosty w stosunku . Wyznacz długości boków trójkąta.
1:2
Odp.
m ,m 3,2m


Z.14 Dany jest kwadrat, którego dwa wierzchołki leŜą na okręgu o promieniu
, a dwa pozostałe na stycznej do okręgu. Wyznacz długość przekątnej
R
kwadratu.
Odp.
1,6R 2


Z.15 Dane są trzy okręgi o promieniu styczne parami. Wyznacz pole trójkąta
r
wyznaczonego przez wspólne zewnętrzne styczne do tych okręgów.
( )
2
Odp.
+
2r 2 3 3


Z.16 Podstawy trapezu równoramiennego mają długość i , a ramię ma
a b
2 2
długość , a przekątna długość . Udowodnij, Ŝe .
= +
c d d ab c


Z.17 Na zewnątrz boków kwadratu skonstruowano trójkąty równoboczne i ich
kolejne wierzchołki połączono. Oblicz stosunek obwodu tego czworokąta do
obwodu danego kwadratu.
( )
Odp.
+
6 2 /2


Z.18 W romb, którego przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoboczne
wpisano okrąg o promieniu 2. Wyznacz długość boku rombu.
Odp.
8 3 /3



Z.19 Obwód równoległoboku wynosi 90 cm, a jego kąt ostry ma . Przekątna
60
równoległoboku dzieli jego kąt rozwarty w stosunku . Wyznacz
1:3
długości boków tego równoległoboku.
Odp. 15 i 30 cm


Z.20 W trójkąt prostokątny wpisano półokrąg tak, Ŝe jego średnica leŜy na
przeciwprostokątnej, a jego środek dzieli przeciwprostokątną na odcinki
długości 15 i 20 cm. Oblicz pole trójkąta i długość obwodu wpisanego
półokręgu.
2
Odp.
π
294cm ,12 cm



Z.21 Jeden z kątów trapezu ma miarę , natomiast proste zawierające
30
ramion trapezu przecinają się pod kątem prostym. Znaleźć długość
krótszego ramienia, jeśli podstawy trapezu mają długość 8 i 12 cm.
Odp. 2 cm


( )

Z.22 Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 72 cm, a róŜnica
=
≺
ABC C 90
długości środkowej i wysokości jest równa 7 cm. Oblicz długość
CK CM
przeciw-prostokątnej.
Odp. 32 cm



Z.23 W kąt ostry o mierze wpisano dwa okręgi wzajemnie styczne. Promień
60
mniejszego okręgu wynosi . Oblicz promień większego okręgu.
r
Odp.
3r


Z.24 Punkt jednakowo oddalony od obu przyprostokątnych dzieli
przeciwprostokątną na dwa odcinki o długości 30 i 40 cm. Wyznacz
długości przyprostokątnych tego trójkąta prostokątnego.
Odp. 42 cm i 56 cm


Z.25 Wyznacz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jeśli
promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 3 cm, a jedna z
przyprostokątnych długość 10 cm.
Odp. cm
29/4

Z.26 W trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku i długości
120
podstawy wpisano okrąg. Wyznacz promień tego okręgu.
a
( )
Odp.
−
a 32 3 /2


Z.27 Promienie okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym
wynoszą odpowiednio 2 i 5 cm. Oblicz przyprostokątne tego trójkąta.
Odp. 6 i 8 cm


Z.28 W trójkąt równoboczny wpisano okrąg. Do tego okręgu i boków trójkąta
wpisano trzy małe okręgi. Wyznacz bok trójkąta, jeśli promień małego
okręgu wynosi .
r
Odp.
6r 3


Z.29 Jedna z przyprostokątnych trójkąta ma długość 15 cm, a rzut prostokątny
drugiej przyprostokątnej na przeciwprostokątną ma długość 16 cm. Oblicz
promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Odp. 5 cm


Z.30 Podstawa trójkąta ma długość 36 cm. Prosta równoległa do podstawy dzieli
pole trójkąta na połowy. Wyznacz długość odcinka tej prostej zawartego
między ramionami trójkąta.
Odp. cm
18 2


Z.31 W równoramiennym trójkącie podstawa ma długość 30 cm, a ramię 39 cm.
Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Odp. 10 cm


Z.32 Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 9 i 12 cm. Wyznacz
odległość punktu przecięcia się dwusiecznych od punktu przecięcia się
środkowych.
Odp. 1 cm


Z.33 W trójkącie równoramiennym podstawa i ramię mają długość odpowiednio
5 i 20 cm. Wyznacz długość dwusiecznej kąta przy podstawie.
Odp. 6cm


Z.34 Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość 6 i 8 cm. Oblicz
odległość środka okręgu wpisanego od środka okręgu opisanego na tym
trójkącie.
Odp. cm
5

Z.35 Pole równoramiennego trapezu opisanego na okręgu jest równe , a
S
wysokość trapezu jest dwa razy krótsza od jego ramienia. Oblicz promień
okręgu.
Odp.
2S /4


Z.36 W okrąg o promieniu wpisano trapez, w którym krótsza podstawa jest
R
dwa razy krótsza od kaŜdego z pozostałych boków. Oblicz pole trapezu.
2
Odp.
3R 3 /4



Z.37 W okrąg o promieniu wpisano trójkąt o kątach i . Oblicz pole
R 60 15
trójkąta.
2
Odp.
R 3 /4


2
Z.38 Pole trapezu równoramiennego opisanego na okręgu wynosi 8 . Oblicz
cm

długości boków trapezu, jeśli kąt przy podstawie ma miarę .
30
Odp. cm
+ −
4 2 3,4 2 3,4


Z.39 Znaleźć pole trójkąta równobocznego wpisanego w kwadrat o boku
długości , jeśli jeden z wierzchołków trójkąta jest wierzchołkiem
a
kwadratu.
( )
2
Odp.
−
a 2 3 3


Z.40 Oblicz pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości .
a
( )
2
Odp.
−
3a 7 4 3


Z.41 Oblicz bok rombu wiedząc, Ŝe jego pole wynosi , a stosunek długości
S
przekątnych wynosi .
m :n
( )
2 2
Sm +n
Odp.
2mn


Z.42 Oblicz pole trapezu prostokątnego wiedząc, Ŝe jego kąt ostry ma miarę

, krótsza podstawa długość natomiast dłuŜsza ramię .
60 a b
( )
Odp.
+
4a bb 3 /8



Z.43 W wycinek koła o mierze wpisano koło. Oblicz stosunek pola tego
60
koła do pola wycinka.
Odp.
2:3

Z.44 W trapezie równoramiennym długości podstaw wynoszą 24 i 30 cm. Oblicz
pole trapezu wiedząc, Ŝe jego przekątne są prostokątne.
2
Odp.
1024cm


Z.45 Wysokość rombu wynosi 12 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 15
cm. Oblicz pole rombu.
2
Odp.
150cm


Z.46 Trzy okręgi o promieniach 6, 7 i 8 cm są parami styczne. Oblicz pole
trójkąta wyznaczonego przez środki tych okręgów.
2
Odp.
84cm


Z.47 Długości boków trójkąta wynoszą 13, 14 i 15 cm. Wyznacz stosunek pól
koła opisanego i wpisanego w ten trójkąt.
( )
2
Odp.
65/32


( )
Z.48 Oblicz pole trapezu , jeśli stosunek długości podstaw
ABCD AD BC
2
wynosi , a pole trójkąta wynosi 50 , gdzie punkt
5:3 ADM cm M
przecięcia prostych i .
AB CD
2
Odp.
32cm


Z.49 Oblicz pole koła wpisanego w wycinek koła o promieniu i cięciwie .
R 2a
2
Ra
 
Odp.
π
 
R+a
 


Z.50 Na kwadracie o boku opisano okrąg. W jeden z powstałych odcinków
a
koła wpisano kwadrat. Oblicz jego pole.
2
Odp.
a /25


Z.51 W trapez równoramienny wpisano koła. Udowodnij, Ŝe stosunek pole koła
do pola trapezu jest równy stosunkowi obwodu koła do obwodu trapezu.


Z.52 W trójkącie długości stosunków boków trójkąta wynoszą . W ten
2:3:4
trójkąt wpisano półkole, którego średnica leŜy na najdłuŜszym boku. Oblicz
stosunek pól półkola i trójkąta.
Odp.
π
3 15 :50

nie wszystkie odpowiedzi sa dobre.


potzebuje rozwiazan tych zadan jak najszybciej, kazde sie liczy!
thx

[florek177]

1
Punkty styczności okręgu z przyprostokątnymi, dzielą je na odcinki odpowiednio: 5, (a - 5 ) i 12, ( b - 12 ).
Masz pitagorasa oraz a - 5 = b - 12

pozostałe są podobne.

[chris139]

2)z warunków zadania oczywiście wynika, że promień okręgu jest równy 10. Poprowadźmy 2 promienie do wierzchołków krótszej podstawy i dostaniemy trójkąt o bokach 10,10,12. Z twierdzenia Carnota, wyliczamy \(\displaystyle{ cos}\). Wykorzystujemy tą wartość licząc ponownie z twierdzenia Carnota dłg ramienia. A znając dłg ramienia reszta pójdzie z Pitagorasa