Dł. boku trójkąta,

[alien]

Witam, mam takie dwa zadanka, których nie moge rozgryzc:
1.W trójkącie prostokątnym długości przyprostokątnych wynoszą a i b. Oblicz długości odcinków, na jakie dzieli przeciwprostokątną dwusieczna kąta prostego. (Wskazówka: Zastosuj twierdzenie o podziale boku przez dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta) Odp: \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{a+b}}\),\(\displaystyle{ \frac{b\sqrt{a^2+b^2}}{a+b}}\)
2.W trójkącie ABC |AC|=a,|BC|=b(a>b)i|CD|=d, gdzie CD jest odcinkiem leżącym na dwusiecznej kąta ACB, zawartym w trójkącie. Oblicz długośc boku AB tego trójkąta. (Wskazówka: Oznacz |AD|=x, |DB|=y. Zastosuj twierdzenie o podziale boku trójkąta przez dwusieczną kąta wewnętrznego, a następnie oblicz x i y, korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ACD i DBC.) Odp:\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{b(a^2+d^2)-a(b^2+d^2)}{a-b}}\cdot(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}})}\)
Pomoże mi ktoś?

[klaustrofob]

niech x i c-x - długości odcinków na jakie dwusieczna dzieli przeciwprostok, przy czym x leży przy boku a, c-x przy boku b. na podst. cytowanego twierdzenia jest \(\displaystyle{ x:a=(c-x):b \iff bx=a(c-x) \iff x(a+b)=ac \iff x=\frac{ac}{a+b}}\) podstawiasz \(\displaystyle{ c=\sqrt{a^2+b^2}}\) i masz.

[alien]

Ale właśnie wiem, to zadanko już sam zrobiłem, trochę inaczej. Mógłbyś mi pomóc z tym drugim?

[klaustrofob]

niech s=kąt ADC, wtedy kąt BDC=180-s. niech x=AD, y=DB. z tw kosinusów do tr. ADC mamy (*) \(\displaystyle{ a^2=d^2+x^2-2dx\cos s}\), a z tw. kosinusów do tr. BDC mamy (**) \(\displaystyle{ b^2=d^2+y^2+2dy\cos s}\). z tw. o dwusiecznej \(\displaystyle{ x=y\frac{a}{b}}\). stąd \(\displaystyle{ a^2=d^2+y^2\frac{a^2}{b^2}-2dy\frac{a}{b}\cos s}\) czyli
\(\displaystyle{ a^2b=d^2b+y^2\frac{a^2}{b}-2dy{a}\cos s}\) równanie (**) mnożysz stronami przez a
\(\displaystyle{ b^2a=d^2a+y^2a+2dya\cos s}\) i dodajesz do poprzedniego:
\(\displaystyle{ b^2a+a^2b=d^2(a+b)+y^2(a+\frac{a^2}{b})}\)
\(\displaystyle{ ba(b+a)=d^2(a+b)+y^2\frac{a(a+b)}{b}}\) czyli
\(\displaystyle{ ab=d^2+y^2\frac{a}{b}}\) i wreszcie
\(\displaystyle{ b^2-d^2\frac{b}{a}=y^2}\) skąd wyliczysz y.

a) sprawdź rachunki
b) x wyliczysz analogicznie - powinno zresztą pójść przez zwykłą zamianę liter, tj. powinno być \(\displaystyle{ x^2=a^2-d^2\frac{a}{b}}\), ale mam drobne wątpliwości
c) AB=x+y - wzór podany w odpowiedzi jest niepotrzebnie skomplikowany

[alien]

No wiem, wiem, oni lubią właśnie tak podawac te wzory i ja własnie chciałbym do tego wzoru dojsc, ale nie wiem jak

[klaustrofob]

ale głupota... przecież \(\displaystyle{ x^2=y^2\cdot\frac{a^2}{b^2}=(b^2-d^2\frac{b}{a}) \frac{a^2}{b^2}=a^2-d^2\frac{a}{b}}\), jak pisałem.
\(\displaystyle{ y=\sqrt{\frac{ab^2-d^2b}{a}}=\sqrt{\frac{b(ab-d^2)}{a}}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{a(ab-d^2)}{b}}}\)
\(\displaystyle{ x+y=\sqrt{\frac{a(ab-d^2)}{b}}+\sqrt{\frac{b(ab-d^2)}{a}}=\sqrt{ab-d^2}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})=\sqrt{\frac{(a-b)(ab-d^2)}{a-b}}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})=}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{b(a^2+d^2)-a(b^2+d^2)}{a-b}}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})}\)

no i wyszło

[alien]

[ Dodano: 3 Czerwca 2008, 20:08 ]

\(\displaystyle{ ab=d^2+y^2\frac{a}{b}}\) i wreszcie
\(\displaystyle{ b^2-d^2\frac{b}{a}=y^2}\) skąd wyliczysz y.
Tego przejścia za bardzo nie rozumiem, i jak mam wyliczyc to y?
skoro \(\displaystyle{ b^2-d^2\frac{b}{a}=y^2}\) to \(\displaystyle{ y=\sqrt{b^2-d^2\frac{b}{a}}}\)? ;>

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ ab=d^2+y^2\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ ab-d^2=y^2\frac{a}{b}/\cdot b}\)
\(\displaystyle{ ab^2-bd^2=y^2a/:a}\)
\(\displaystyle{ \frac{b(ab-d^2)}{a}=y^2}\)
i
\(\displaystyle{ y=\sqrt{b^2-d^2\frac{b}{a}}}\)

[alien]

Dzięki, jesteś wielki.

[klaustrofob]