Czworokąt w okręgu
-
Rohamos
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 3 razy
Czworokąt w okręgu
W okrąg o promieniu 3 wpisano czworokąt w taki sposób, że jedna z jego przekątnych równa jest średnicy okręgu, a miara jednego z kątów figury wynosi 135 stopni. Znajdź długość drugiej przekątnej figury.
Ostatnio zmieniony 1 cze 2008, o 23:54 przez Rohamos, łącznie zmieniany 2 razy.
-
MagdaW
- Użytkownik
- Posty: 760
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z Lublina
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 177 razy
Czworokąt w okręgu
Hm.. Zastanawiam się, jak wykreślić przekątną w okręgu i jak wygląda okrąg wpisany w okrąg.Rohamos pisze:W okrąg o promieniu 3 wpisano okrąg w taki sposób, że jedna z jego przekątnych równa jest średnicy okręgu, a miara jednego z kątów figury wynosi 135 stopni. Znajdź długośćdrugiej przekątnej figury.
-
Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
Czworokąt w okręgu
Łatwo zauważyć, że ten czworokąt będzie miał kąty 135, 90, 45, 90 stopni.
Następną obserwacją jest to, że jeżeli dwa kąty wpisane mają taką samą miarę to są oparte na cięciwach tej samej długości. Druga przekątna jest cięciwą, na której jest oparty kąt 135 stopni, więc zawsze druga przekątna będzie miała taką sama miarę. Przyjmijmy, że nasz czworokąt jest deltoidem. Połączmy wierzchołki czworokąta ze środkiem okręgu. Kąty środkowe oparte na dłuższych bokach będą równe 135 stopni, ponieważ są oparte na dwa razy krótszych łukach niż łuk, na którym jest oparty kąt wpisany równy 135 stopni. Dłuższy bok tego deltoidu oznaczmy przez "x", a krótszy przez "y". Z tw. cosinusów otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^{2} =18-18\cdot cos135=18+9 \sqrt{2}}\). Dalej korzystamy z tw. Pitagorasa wiedząc, że \(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=(2r)^{2} y^{2}=18-9 \sqrt{2}}\). Dalej stosujemy tw. cosinusów dla trójkąta o bokach y, y, z, gdzie "z" oznacza długość drugiej przekątnej. \(\displaystyle{ z^{2}=y^{2}+y^{2}-2\cdot y\cdot y cos 135=2y^{2}+2y^{2}\cdot cos45=2(18-9 \sqrt{2})+ 2(18-9 \sqrt{2})\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} =36- 18 \sqrt{2} + 18 \sqrt{2} -18=18 z= \sqrt{18}=3\sqrt{2}}\).
Następną obserwacją jest to, że jeżeli dwa kąty wpisane mają taką samą miarę to są oparte na cięciwach tej samej długości. Druga przekątna jest cięciwą, na której jest oparty kąt 135 stopni, więc zawsze druga przekątna będzie miała taką sama miarę. Przyjmijmy, że nasz czworokąt jest deltoidem. Połączmy wierzchołki czworokąta ze środkiem okręgu. Kąty środkowe oparte na dłuższych bokach będą równe 135 stopni, ponieważ są oparte na dwa razy krótszych łukach niż łuk, na którym jest oparty kąt wpisany równy 135 stopni. Dłuższy bok tego deltoidu oznaczmy przez "x", a krótszy przez "y". Z tw. cosinusów otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x^{2} =18-18\cdot cos135=18+9 \sqrt{2}}\). Dalej korzystamy z tw. Pitagorasa wiedząc, że \(\displaystyle{ y^{2}+x^{2}=(2r)^{2} y^{2}=18-9 \sqrt{2}}\). Dalej stosujemy tw. cosinusów dla trójkąta o bokach y, y, z, gdzie "z" oznacza długość drugiej przekątnej. \(\displaystyle{ z^{2}=y^{2}+y^{2}-2\cdot y\cdot y cos 135=2y^{2}+2y^{2}\cdot cos45=2(18-9 \sqrt{2})+ 2(18-9 \sqrt{2})\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} =36- 18 \sqrt{2} + 18 \sqrt{2} -18=18 z= \sqrt{18}=3\sqrt{2}}\).