trójkąta równoboczny

[marcinmatfiz]

Bok trójkąta równobocznego A ma długość a . Ze środka ciężkości tego trójkąta zakreślono okrąg
o promieniu długości frac{1}{3} a,wyznacz kolo B . Oblicz pole figury A-B oraz B-A

[ Dodano: 29 Maj 2008, 17:08 ]
1/3 a

[enigm32]

\(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{3}}\)
r - promień okręgu wpisanego w nasz tr.
R - promień okręgu na nim opisanego



\(\displaystyle{ cosx=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} x=30^o}\)
Pole trójkąta równobocznego (kolor zielony): \(\displaystyle{ P_{tr}=\frac{\frac{a^2}{9}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}}\)
Pole wycinka koła: \(\displaystyle{ P_{wyc}=\frac{\pi\frac{a^2}{9}}{6}=\frac{\pi a^2}{54}}\)
Pole odcinka koła: \(\displaystyle{ P_{odc}=P_{wyc}-P_{tr}=\frac{a^2(2\pi-3\sqrt{3})}{108}}\)
Potrzebujemy jeszcze pole trójkąta A: \(\displaystyle{ P_A=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ P_B=\frac{\pi a^2}{9}}\)

Figura A-B:



Figura B-A:



Korzystając już z naszych znalezionych wielkości można obliczyć pola figur A-B oraz B-A na przykład tak:
\(\displaystyle{ P_{A-B}=P_A-(P_B-3P_{odc})\\ P_{B-A}=3P_{odc}}\)

Reszta to już kwestia rachunków. Pzdr.