twierdzenie o przekątnych w trapezie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
o_o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 2 mar 2008, o 13:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

twierdzenie o przekątnych w trapezie

Post autor: o_o »

Czy ktoś by mi pomógł udowodnić wektorowo twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu ?
koreczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 10 lis 2006, o 09:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 28 razy

twierdzenie o przekątnych w trapezie

Post autor: koreczek »

mamy trapez ABCD, o podstawach AB i CD
niech AK=KD i BL=LC
musimy udowodnić, że KL jest równoległy do AB i CD oraz \(\displaystyle{ KL= \frac{AB+CD}{2}}\)
z równości wektorów mamy:
\(\displaystyle{ \vec{KL}=\vec{KD}+\vec{DC}+\vec{CL}}\)
oraz \(\displaystyle{ \vec{KL}=\vec{KA}+\vec{AB}+\vec{BL}}\)
dodając stronami:
\(\displaystyle{ 2\vec{KL}=\vec{KD}+\vec{DC}+\vec{CL}+\vec{KA}+\vec{AB}+\vec{BL}}\)
zauważmy również, że \(\displaystyle{ \vec{KA}+\vec{KD}=\vec{0}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{LC}+\vec{LB}=\vec{0}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ 2\vec{KL}=\vec{0}+\vec{0}+\vec{DC}+\vec{AB}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \vec{KL}= \frac{\vec{DC}+\vec{AB}}{2}}\)
korzystając z równości wektorów łatwo uzasadnisz, że KL jest równoległy do AB i CD oraz \(\displaystyle{ KL= \frac{AB+CD}{2}}\)
ODPOWIEDZ