trapez prostokątny

[kometka]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny, którego najkrótszy bok ma długość 1,5 r. Oblicz pole tego trapezu i stosunek długości jego przekątnych

[RyHoO16]

Czy odpowiedzią jest \(\displaystyle{ P= \frac{9r^2}{2}}\) Bo moje rozwiązanie jest praco chłonne( w szczególności rysunek) , dlatego nie chcę pisać na marne.

[Wicio]

a-dolna podstawa(dłuższa)
x-różnica między dolna a górną podstawą
h=2r
b=1,5r(górna podstawa)
d-ramię dłuższe

Więc dolna podstawa to:
b+x=1,5r+x

\(\displaystyle{ a+b=h+d}\)
\(\displaystyle{ 1,5r+x+1,5r=2r+d}\)
\(\displaystyle{ 3r+x=2r+d}\)
\(\displaystyle{ r+x=d}\)

Z pitagorasa w trójkącie utworzonym przez x,h i d
\(\displaystyle{ x ^{2} +h ^{2} =d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} +4r ^{2} =(r+x) ^{2}}\) wyliczasz z tego x i masz wówczas dł. podstawy a

Więc mozesz obliczyć pole:
\(\displaystyle{ P= \frac{a+b}{2} h}\)

Jedna przekątna (f) to z:
\(\displaystyle{ a ^{2} +h ^{2} =f ^{2}}\)

A druga (g) z:
\(\displaystyle{ b ^{2} +h ^{2} =g ^{2}}\)

[bedroszek]

b- 1,5r
a- dłuższa podstawa
h=2r
d- przekątna dłuższa
x-przekątna krótsza
Z warunków wpisywalności:
\(\displaystyle{ a+1,5r=2r+c\\
a=0,5r+c\\
\frac{9}{4}r^2+4r^2=x^2\\
x= \frac{5}{2}r}\)
Gdy poprowadzisz drugą wysokość to odcinek od wyskości do końca boku a oznacz y
\(\displaystyle{ y=a-1,5r\\
y= \frac{1}{2}r+c-1,5r \\
y=c-r}\)
z tw. Pitagorasa obliczysz c
Mając c obliczysz Pole
A dłuższą przekątną obliczysz z tw. Pitagorasa

Pozdrawiam

[RyHoO16]

W trapezie ABCD i okręgu O
\(\displaystyle{ |AB|=a}\) \(\displaystyle{ |DC|=|AF|= \frac{3r}{2}=b}\) \(\displaystyle{ |EB|=x=a-r}\)
\(\displaystyle{ |FB|=a- \frac{3}{2}r}\) \(\displaystyle{ |AD|=2r=h}\)

Poprowadź dwusieczną w kącie \(\displaystyle{ | \angle CBA| = }\), która opiera się na środku okręgu O i punkcie E, który jest do niego równoległy.

\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b) h}{2}= \frac{r}{2}(3r+2a)}\)
Teraz tylko należy wyznaczyć a

W \(\displaystyle{ \Delta CFB}\) mamy : \(\displaystyle{ \tan = \frac{2r}{x- \frac{r}{2} }}\), a w \(\displaystyle{ \Delta BEO}\) \(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2}= \frac{r}{x}}\)

Następnie korzystając ze wzoru: \(\displaystyle{ \tan = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2} }{1- \tan^2 \frac{\alpha}{2}} \iff \frac{2r}{x- \frac{r}{2} }= \frac{2 \frac{r}{x} }{1- ft( \frac{r}{x} \right)^2 } \iff x=2r}\) , więc \(\displaystyle{ a=3r}\)

Podstawiając do pola mamy \(\displaystyle{ P= \frac{9r^2}{2}}\)

Uff

[Wicio]

RHhoO16 po co takim jakimś skomplikowanym sposobem?Spójrz, nie łatwiej tak jak ja?

[RyHoO16]

Mój sposób nie jest wcale zły, ale bez rysunku go autor nie zrozumie. \(\displaystyle{ Wicio}\) do twojego sposobu nie mam zastrzeżeń.

[Wicio]

Wiem, że nie jest zły, ale po co sobie życie utrudniać jak można duuuużo łatwiej i szybciej