Dany jest prostokąt o bokach długości \(\displaystyle{ a, b}\) oraz przekątnej \(\displaystyle{ d}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ a + b qslant d \sqrt{2}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Wykaż zależność w prostokącie
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Wykaż zależność w prostokącie
Na mocy nierownosci Cauchy'ego o srednich dostajemy:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}}\)
Ponadto:
Z tresci zadania wynika, ze: \(\displaystyle{ a^2+b^2=d^2}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{d^2}{2}\\
\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{d^2}{2}}}\)
Na mocy naszej nierownosci mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \leq{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{d^2}{2}}=\frac{\sqrt{2}d}{2}\iff a+b\leq d\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}}\)
Ponadto:
Z tresci zadania wynika, ze: \(\displaystyle{ a^2+b^2=d^2}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{d^2}{2}\\
\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{d^2}{2}}}\)
Na mocy naszej nierownosci mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \leq{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{d^2}{2}}=\frac{\sqrt{2}d}{2}\iff a+b\leq d\sqrt{2}}\)