1. Znajdź równanie linii będącej zbiorem środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P(3,2)}\) i stycznych do osi \(\displaystyle{ OX}\).
2. Oblicz cosinus kata między wektorami: \(\displaystyle{ \vec{a}=3\vec{p}-4\vec{q}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}=5\vec{p}+12\vec{q}}\), jeżeli \(\displaystyle{ \vec{p}\perp\vec{q}}\) i \(\displaystyle{ \left|\vec{p}\right|= ft|\vec{q} \right| =1.}\)
Znajdź równanie linii
-
wielka_kometa
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 19 lis 2007, o 14:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Znajdź równanie linii
1. Jeśli środek okręgu ma współrzędne S=(a,b) to naszym zadaniem jest zanlezienie takiej funkcji: \(\displaystyle{ b=f(a)}\), która spełniałaby warunki zadania. Odpowiedź znajdziesz tu, tylko, że trzeba zmienić współrzędne punktu: https://matematyka.pl/74206.htm
[ Dodano: 24 Maj 2008, 23:27 ]
2. Niech wektor p ma współrzędne: \(\displaystyle{ \vec{p}=[a,c]}\). Z warunku, że \(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right| =1}\) wynika, że: \(\displaystyle{ a^2+c^2=1 c= \sqrt{1-a^2}}\) (pomijam tu rozwiązanie z minusem, bo to jest obojętne, które wezmę). Więc wektor p przyjmuje ostateczną postać: \(\displaystyle{ \vec{p}= ft[ a, \sqrt{1-a^2}\right]}\)
Analogicznie wyprowadzamy współrzędne wektora q: \(\displaystyle{ \vec{q}= ft[ b, \sqrt{1-b^2}\right]}\)
Musimy wykorzystać jeszcze jedną informacje o tych wektorach, a mianowicie, że są prostopadłe. Skorzystamy tu z własności iloczynu skalarnego, który dla wektorów prostopadłych przyjmuje wartość 0 (bo cos 90=0):
\(\displaystyle{ \vec{p} \circ \vec{q}=0 ab+\sqrt{ ft(1-a^2 \right) ft(1-b^2 \right) }=0 a^2b^2=1-b^2-a^2+a^2b^2 \\ b^2=1-a^2 b=- \sqrt{1-a^2}}\)
Tu rozwiązania też są dwa, ale bierzemy ujemne tak, aby zachować właściwości iloczynu skalarnego, aby sie wyzerował.
I wynik podstawiamy do współrzędnych wektora q (w ten sposób będziemy mieli uzaleznione współrzędne obydwu wektorów od tej samej zmiennej):
\(\displaystyle{ \vec{p}= ft[ a, \sqrt{1-a^2}\right], \vec{q}= ft[ - \sqrt{1-a^2},a\right]}\)
Widac oczywiście, że a musi być liczbą z przedziału .
Utwórzmy teraz wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}=3 \vec{p} - 4 \vec{q}= ft[ 3a+4\sqrt{1-a^2}, 3 \sqrt{1-a^2} -4a \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=5 \vec{p} +12 \vec{q}= ft[ 5a -12\sqrt{1-a^2}, 5 \sqrt{1-a^2} +12a \right]}\)
Aby, policzyć cosinus kąta zawartego między tymi wektorami musimy skorzystać z właściowści iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}= ft| \vec{a}\right| ft| \vec{b}\right| \cos \cos = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\left| \vec{a}\right| ft| \vec{b}\right|}}\)
Obliczenia musisz sam sobie przeprowadzić (bo za dużo wpisywania, ale wszystko się ładnie upraszcza). I ostatecznie dostajemy następujący wynik:
\(\displaystyle{ \cos =- \frac{33}{65}}\)
Pozdro!
[ Dodano: 24 Maj 2008, 23:27 ]
2. Niech wektor p ma współrzędne: \(\displaystyle{ \vec{p}=[a,c]}\). Z warunku, że \(\displaystyle{ \left| \vec{p} \right| =1}\) wynika, że: \(\displaystyle{ a^2+c^2=1 c= \sqrt{1-a^2}}\) (pomijam tu rozwiązanie z minusem, bo to jest obojętne, które wezmę). Więc wektor p przyjmuje ostateczną postać: \(\displaystyle{ \vec{p}= ft[ a, \sqrt{1-a^2}\right]}\)
Analogicznie wyprowadzamy współrzędne wektora q: \(\displaystyle{ \vec{q}= ft[ b, \sqrt{1-b^2}\right]}\)
Musimy wykorzystać jeszcze jedną informacje o tych wektorach, a mianowicie, że są prostopadłe. Skorzystamy tu z własności iloczynu skalarnego, który dla wektorów prostopadłych przyjmuje wartość 0 (bo cos 90=0):
\(\displaystyle{ \vec{p} \circ \vec{q}=0 ab+\sqrt{ ft(1-a^2 \right) ft(1-b^2 \right) }=0 a^2b^2=1-b^2-a^2+a^2b^2 \\ b^2=1-a^2 b=- \sqrt{1-a^2}}\)
Tu rozwiązania też są dwa, ale bierzemy ujemne tak, aby zachować właściwości iloczynu skalarnego, aby sie wyzerował.
I wynik podstawiamy do współrzędnych wektora q (w ten sposób będziemy mieli uzaleznione współrzędne obydwu wektorów od tej samej zmiennej):
\(\displaystyle{ \vec{p}= ft[ a, \sqrt{1-a^2}\right], \vec{q}= ft[ - \sqrt{1-a^2},a\right]}\)
Widac oczywiście, że a musi być liczbą z przedziału .
Utwórzmy teraz wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a}=3 \vec{p} - 4 \vec{q}= ft[ 3a+4\sqrt{1-a^2}, 3 \sqrt{1-a^2} -4a \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}=5 \vec{p} +12 \vec{q}= ft[ 5a -12\sqrt{1-a^2}, 5 \sqrt{1-a^2} +12a \right]}\)
Aby, policzyć cosinus kąta zawartego między tymi wektorami musimy skorzystać z właściowści iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}= ft| \vec{a}\right| ft| \vec{b}\right| \cos \cos = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{\left| \vec{a}\right| ft| \vec{b}\right|}}\)
Obliczenia musisz sam sobie przeprowadzić (bo za dużo wpisywania, ale wszystko się ładnie upraszcza). I ostatecznie dostajemy następujący wynik:
\(\displaystyle{ \cos =- \frac{33}{65}}\)
Pozdro!