Witam
Bardzo prosiłbym o pomoc w tym zadaniu:
W trapezie równoramiennym ABCD dane są: \(\displaystyle{ \left| BC \right| = ft|AD\right| = a}\), długość dłuższej podstawy \(\displaystyle{ \left|AB\right| = 3a}\)oraz miara kąta ostrego równa 30 stopni
a) Oblicz długość przekątnej trapezu oraz wyznacz stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ BCD}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\)
b) Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ a}\) pole trapezu wynosi \(\displaystyle{ 36-6 \sqrt{3}}\)
Trapez równoramienny
-
Wicio
- Użytkownik
- Posty: 1318
- Rejestracja: 13 maja 2008, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 561 razy
Trapez równoramienny
a)
z tw. sinusa obliczasz h i x
h-wysokość
x-kawałek dolnej podstawy=\(\displaystyle{ \frac{3a-b}{2}}\) gdzie
b-górna podstawa , zaś 3a dolna podstawa
\(\displaystyle{ sin 30= \frac{h}{a}}\)
\(\displaystyle{ cos 30= \frac{x}{a}}\)
Jak masz x to obliczasz pozostały kawałek podstawy dłuższej (3a)
3a-x i z tw. pitagorasa obliczasz przekątną d
\(\displaystyle{ (3a-x ) ^{2} +h ^{2} =d ^{2}}\)
Następnie obliczasz długość b z obliczonego x
rysujesz drugą przekątna (punkt przecięcie przekątnych to O) i powstają Ci 4 trójkąty z czego:
trójkat ABD= AOD+AOB
zaś trójkąt BDC=DCO+COB
a wiemy, że AOD=COB
więc stosunek pól trójkątów ABD i DCB to stosunek trójkątów AOB i DOC
A jest takie tw. , że stosunek pól tych trójkątów , w których jeden z boków jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu, więc:
\(\displaystyle{ \frac{AOB}{DOC} = \frac{(3a) ^{2} }{b ^{2} }}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{ABD}{DCB} = \frac{(3a) ^{2} }{b ^{2} }}\)
z tw. sinusa obliczasz h i x
h-wysokość
x-kawałek dolnej podstawy=\(\displaystyle{ \frac{3a-b}{2}}\) gdzie
b-górna podstawa , zaś 3a dolna podstawa
\(\displaystyle{ sin 30= \frac{h}{a}}\)
\(\displaystyle{ cos 30= \frac{x}{a}}\)
Jak masz x to obliczasz pozostały kawałek podstawy dłuższej (3a)
3a-x i z tw. pitagorasa obliczasz przekątną d
\(\displaystyle{ (3a-x ) ^{2} +h ^{2} =d ^{2}}\)
Następnie obliczasz długość b z obliczonego x
rysujesz drugą przekątna (punkt przecięcie przekątnych to O) i powstają Ci 4 trójkąty z czego:
trójkat ABD= AOD+AOB
zaś trójkąt BDC=DCO+COB
a wiemy, że AOD=COB
więc stosunek pól trójkątów ABD i DCB to stosunek trójkątów AOB i DOC
A jest takie tw. , że stosunek pól tych trójkątów , w których jeden z boków jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu, więc:
\(\displaystyle{ \frac{AOB}{DOC} = \frac{(3a) ^{2} }{b ^{2} }}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{ABD}{DCB} = \frac{(3a) ^{2} }{b ^{2} }}\)
-
kostucha1
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 3 gru 2007, o 15:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ustka
- Pomógł: 24 razy
Trapez równoramienny
Najpierw barysuj ten trapez i zaznacz wszystkie dane na rysunku. następnie zaznacz wysokosc i dla powstałego trojkąta z wlasnosci funkcji trygonometrycznych wyznacz wysokosc
\(\displaystyle{ \sin 30=\frac{h}{a}\\ h=\frac{1}{2}a}\)
nastepnie z tw. pitagorasa oblicz dlugosc tego malego odcinka na dluzszej podstawie(ozn np. x). krotsza podstawa (b), to dluzsza podstawa minus te dwa male odcinki x
\(\displaystyle{ b=3a-2x}\) pozniej mozesz obliczyc pole trapezu i przyrównac wynik do
\(\displaystyle{ 36-6\sqrt{3}}\)
wtedy obliczysz punkt b)
jezeli chodzi o punkt a), to narysuj przekatna w trapezie i jego wysokosc i oblicz z tw. pitagorasa ta przekatna, pamietajac ze podstawa tak utworzonego wiekszego trojkata jest rowna
\(\displaystyle{ 3a-x}\)
gdzie x wyliczone bylo wczesniej. pole trojkata ADB to suma pol dwóch trójkatów wyznaczonych przez wysokosc. potem oblicz pole trojkata BCD ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah}\)
gdzie wysokosc poprowadz z wierzcholka B na przedlużona krótszapodstawetrapezu. wysokosc ta ma oczywiscie taka sama dlugosc jak wysokosc trapezu a podstawe tego trojkata znamy, bo to krotsza podstawa trapezu. jak juz mamy dwa pola to obliczmy ichstosunek i gotowe
\(\displaystyle{ \sin 30=\frac{h}{a}\\ h=\frac{1}{2}a}\)
nastepnie z tw. pitagorasa oblicz dlugosc tego malego odcinka na dluzszej podstawie(ozn np. x). krotsza podstawa (b), to dluzsza podstawa minus te dwa male odcinki x
\(\displaystyle{ b=3a-2x}\) pozniej mozesz obliczyc pole trapezu i przyrównac wynik do
\(\displaystyle{ 36-6\sqrt{3}}\)
wtedy obliczysz punkt b)
jezeli chodzi o punkt a), to narysuj przekatna w trapezie i jego wysokosc i oblicz z tw. pitagorasa ta przekatna, pamietajac ze podstawa tak utworzonego wiekszego trojkata jest rowna
\(\displaystyle{ 3a-x}\)
gdzie x wyliczone bylo wczesniej. pole trojkata ADB to suma pol dwóch trójkatów wyznaczonych przez wysokosc. potem oblicz pole trojkata BCD ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah}\)
gdzie wysokosc poprowadz z wierzcholka B na przedlużona krótszapodstawetrapezu. wysokosc ta ma oczywiscie taka sama dlugosc jak wysokosc trapezu a podstawe tego trojkata znamy, bo to krotsza podstawa trapezu. jak juz mamy dwa pola to obliczmy ichstosunek i gotowe