Czworokąt wpisany w okrąg

deolowiec · Post autor: **deolowiec** » 15 maja 2008, o 15:56

W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) boki mają długość: \(\displaystyle{ |AB| = 2 \sqrt{5}\mbox{ cm}, |BC| = 5\mbox{ cm}}\). Krótsza wysokość \(\displaystyle{ DE}\) równoległoboku ma długość \(\displaystyle{ 4\mbox{ cm}}\), a dłuższa ma \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}\mbox{ cm}}\).
Uzasadnij, że na czworokącie \(\displaystyle{ BFDE}\) można opisać okrąg i oblicz długość promienia tego okręgu.

Z poprzednich podpunktów wyszły mi długości boków tego czworokąta - \(\displaystyle{ \sqrt{5}, 2\sqrt{5} , 4, 3\mbox{ cm}}\), zaś pole \(\displaystyle{ 11\mbox{ cm}^2}\). Nie wiem jednak co i jak dalej liczyć. Z góry dzięki za pomoc.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 15 maja 2008, o 16:15

rozumiem, że DF to punkt spustowy dłuższej wysokości poprowadzonej z D? ponieważ kąty DE i DF są proste, to okrąg można opisać. obliczasz BD - z tw. Pitagorasa - powinno wyjść 5. ale BD jest średnicą okręgu opisanego.

deolowiec · Post autor: **deolowiec** » 15 maja 2008, o 16:23

Dzięki za pomoc Wyszło jak miało wyjść.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 15 maja 2008, o 16:25

w czworokącie wypukłym suma WSZYSTKICH kątów = 360.

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 31 sie 2012, o 23:25

W każdym czworokącie(wypukłym?) połowa przekątnej to promień okręgu opisanego na tym czworokącie?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 31 sie 2012, o 23:28

Nie na każdym czworokącie da się opisać okrąg. A nawet jeśli się da, to zauważ, że przekątna nie musi przechodzić przez środek okręgu.
Pozdrawiam!

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 1 wrz 2012, o 01:19

No właśnie i tutaj moje pytanie, skąd więc wiemy w tym przypadku, że \(\displaystyle{ BD}\) jest srednica okregu opisanego? Z czego to wynika?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 1 wrz 2012, o 02:13

Opisanie okręgu na tym czworokącie oznacza również opisanie okręgu na dwóch powstałych trójkątach prostokątnych, które na rzeczony czworokąt się składają (BD to ich wspólna przeciwprostokątna), a jak się ma okrąg opisany na trójkącie prostokątnym do jego przeciwprostokątnej?

Gawroon7 · Post autor: **Gawroon7** » 1 wrz 2012, o 17:04

No, promień jest połową przeciwprostokątnej. Ale już wszystko rozumiem Późna pora była, dziękuję bardzo :d