2. Dwusieczna kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną w stosunku 3:4. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.
Odp: 25:4
Za wszelkie rozwiązania i podpowiedzi z góry dziękuje.
Mój początkowy pomysł:
Przeciwprostokątna do której poprowadzono dwusieczną: \(\displaystyle{ c=x+y}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}= \frac{3}{4}\\ 4x=3y\\ y= \frac{4}{3}x\\c=x+y\\ c=\frac{7}{3}x\\ \frac{1}{2}c=R\\ R= \frac{7}{6}x\\ PoleR=\pi \frac{49}{36} x^{2}}\)
Teraz trzeba znaleźć Pole[r], pytanie jak?
O ile się nie myle można skorzystać jeszcze z twierdzenia o dwusiecznej:
\(\displaystyle{ \frac{a}{x}= \frac{b}{y}\\\frac{a}{x}= \frac{b}{ \frac{4}{3}x }\\ \frac{4}{3}ax=bx\\ \frac{4}{3}a=b}\)
Dwusieczna- trójkąt- stosunek kół?
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Dwusieczna- trójkąt- stosunek kół?
To co policzyłeś wszystko się przyda. Teraz tak, napiszmy sobie jaki jest wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt (środek okręgu wyznaczają, dwusieczne wszystkich kątów, te dwusieczne dzielą trójkąt na trzy mniejsze trójkąty, których suma pól jest równa polu dużego trójkąta), czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ar+ \frac{1}{2}br+ \frac{1}{2}cr= \frac{ab}{2} r= \frac{ab}{a+b+c}}\)
Ty policzyłeś, że \(\displaystyle{ a= \frac{3}{4} b}\) oraz, że \(\displaystyle{ c= \frac{7}{3} x}\)
Z twierdzenia pitagorasa dla tego trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 \frac{9}{16}b^2+b^2= \frac{49}{9}x^2 b= \frac{28}{15} x}\)
Czyli \(\displaystyle{ a= \frac{3}{4} b= \frac{7}{5} x}\)
Wstawiamy wszystkie wyliczone a,b i c do wzoru na promień okręgu wpisanego i dostajemy:
\(\displaystyle{ r= \frac{7}{15} x}\)
Pole tego koła: \(\displaystyle{ P_r= \frac{49}{225} \pi x^2}\)
Stosunke wynosi: \(\displaystyle{ \frac{P_R}{P_r} = \frac{49 \pi x^2}{36}* \frac{225 }{49\pi x^2} = \frac{25}{4}}\)
Pozdro!
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ar+ \frac{1}{2}br+ \frac{1}{2}cr= \frac{ab}{2} r= \frac{ab}{a+b+c}}\)
Ty policzyłeś, że \(\displaystyle{ a= \frac{3}{4} b}\) oraz, że \(\displaystyle{ c= \frac{7}{3} x}\)
Z twierdzenia pitagorasa dla tego trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 \frac{9}{16}b^2+b^2= \frac{49}{9}x^2 b= \frac{28}{15} x}\)
Czyli \(\displaystyle{ a= \frac{3}{4} b= \frac{7}{5} x}\)
Wstawiamy wszystkie wyliczone a,b i c do wzoru na promień okręgu wpisanego i dostajemy:
\(\displaystyle{ r= \frac{7}{15} x}\)
Pole tego koła: \(\displaystyle{ P_r= \frac{49}{225} \pi x^2}\)
Stosunke wynosi: \(\displaystyle{ \frac{P_R}{P_r} = \frac{49 \pi x^2}{36}* \frac{225 }{49\pi x^2} = \frac{25}{4}}\)
Pozdro!