Zadania optymalizacyjne

[witek010]

1. Boki trójkąta prostokątnego ABC mają długości |AC| = 3, |BC| = 4, |AB| = 5
Prosta L, równoległa do prostej AB przecina bok AC i BC odpowiednio w punktach M i N. Niech S oznacza środek odcinka AB oraz |MC| = x.
PYTANIE: Pole P(x) trójkąta MNS jest funkcją zmiennej x. Znajdź wzór tej funkcji

2. W zbiorze trójkątów prostokątnych o obwodzie 20cm znajdź ten, którego pole jest największe.

[klaustrofob]

1. pola tr. AMS i SBN są równe i wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(3-x)\cdot 2}\). pole tr. MNC wynosi \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{3}\right)^2\cdot 6}\) - wynika to z faktu, że MNC~ABC w skali x/3. stąd \(\displaystyle{ P_{MNS}=6-6\cdot\frac{x^2}{9}-(3-x)}\). wystarczy to zminimalizować.

2. wykorzystam nierówności między średnimi. mamy
\(\displaystyle{ 20=a+b+\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\frac{a+b}{2}+\sqrt{2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq 2\sqrt{ab}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{ab}=(2\sqrt{2}+{2)\sqrt{S}}\), skąd
\(\displaystyle{ S\leq\frac{20}{2+2\sqrt{2}}}\). nierówność ta MOŻE być równością - ma to miejsce wtw. a=b, czyli tr. jest równoramienny.

[nikodem92]

Wydaje mi się, że zamiast:

\(\displaystyle{ P_{MNS}=6-6\cdot\frac{x^2}{9}-(3-x)}\)

Powinno być:

\(\displaystyle{ P_{MNS}=6-6\cdot\frac{x^2}{9}-2(3-x)}\)

(odejmujemy pola tych dwóch trójkatów o takim samym polu, a pole jednego wynosi: \(\displaystyle{ 3-x}\) ).