W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60 stopni. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa,wiedząc, że jego wysokość wynosi 10\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) dm .
Proszę o dokładne rozwiązanie )
Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa...
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 18 sty 2008, o 15:19
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: ;)
- Podziękował: 29 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 735
- Rejestracja: 28 gru 2007, o 20:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 187 razy
- Pomógł: 1 raz
Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa...
Niech ostrosłup ma wierzchołki A,B,C,D.
Niech punkt O będzie punktem na który spada wysokość- czyli wysokość ostrosłupa to |DO|
Załóżmy , ze kąt alfa to kąt między |DB| a |BO|
Więc z funkcji trygonometrycznych mogę obliczyć |BO| , które jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\)
h-wysokość podstawy
czyli:
\(\displaystyle{ tan a = \frac{|DO|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =\frac{10 \sqrt{3} }{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=10}\)
Teraz z tw. pitagorasa obliczasz długość krawędzi bocznej |BD|
\(\displaystyle{ |OB| ^{2} + |OD| ^{2} = |BD| ^{2}}\)
Następnie jak wiesz, że |OB|=10 i |OB|=\(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\)
[/latex] to obliczysz wysokość - czyli wysokość podstawy jest równa 15
A wiemy, ze w trójkącie prostokątnym
\(\displaystyle{ h= \frac{ \sqrt{3} }{2} a}\) więc możesz wyliczyć długość krawędzi podstawy (a)
Jak masz krawędź podstawy i masz krawędź boczna to z tw. pitagorasa wyliczasz wysokość ściany bocznej (\(\displaystyle{ h _{1}}\))
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} a) ^{2} + (h _{1}) ^{2} = |BD| ^{2}}\)
A pole powierzchni bocznej to po prostu \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{2} a h _{1}}\)
Niech punkt O będzie punktem na który spada wysokość- czyli wysokość ostrosłupa to |DO|
Załóżmy , ze kąt alfa to kąt między |DB| a |BO|
Więc z funkcji trygonometrycznych mogę obliczyć |BO| , które jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\)
h-wysokość podstawy
czyli:
\(\displaystyle{ tan a = \frac{|DO|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =\frac{10 \sqrt{3} }{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=10}\)
Teraz z tw. pitagorasa obliczasz długość krawędzi bocznej |BD|
\(\displaystyle{ |OB| ^{2} + |OD| ^{2} = |BD| ^{2}}\)
Następnie jak wiesz, że |OB|=10 i |OB|=\(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\)
[/latex] to obliczysz wysokość - czyli wysokość podstawy jest równa 15
A wiemy, ze w trójkącie prostokątnym
\(\displaystyle{ h= \frac{ \sqrt{3} }{2} a}\) więc możesz wyliczyć długość krawędzi podstawy (a)
Jak masz krawędź podstawy i masz krawędź boczna to z tw. pitagorasa wyliczasz wysokość ściany bocznej (\(\displaystyle{ h _{1}}\))
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} a) ^{2} + (h _{1}) ^{2} = |BD| ^{2}}\)
A pole powierzchni bocznej to po prostu \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{2} a h _{1}}\)