Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa...

[paulusia_07]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60 stopni. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa,wiedząc, że jego wysokość wynosi 10\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) dm .

Proszę o dokładne rozwiązanie )

[wojtek6214]

Niech ostrosłup ma wierzchołki A,B,C,D.
Niech punkt O będzie punktem na który spada wysokość- czyli wysokość ostrosłupa to |DO|

Załóżmy , ze kąt alfa to kąt między |DB| a |BO|

Więc z funkcji trygonometrycznych mogę obliczyć |BO| , które jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\)

h-wysokość podstawy

czyli:
\(\displaystyle{ tan a = \frac{|DO|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =\frac{10 \sqrt{3} }{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ |OB|=10}\)

Teraz z tw. pitagorasa obliczasz długość krawędzi bocznej |BD|

\(\displaystyle{ |OB| ^{2} + |OD| ^{2} = |BD| ^{2}}\)

Następnie jak wiesz, że |OB|=10 i |OB|=\(\displaystyle{ \frac{2}{3} h}\)
[/latex] to obliczysz wysokość - czyli wysokość podstawy jest równa 15

A wiemy, ze w trójkącie prostokątnym
\(\displaystyle{ h= \frac{ \sqrt{3} }{2} a}\) więc możesz wyliczyć długość krawędzi podstawy (a)

Jak masz krawędź podstawy i masz krawędź boczna to z tw. pitagorasa wyliczasz wysokość ściany bocznej (\(\displaystyle{ h _{1}}\))

\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} a) ^{2} + (h _{1}) ^{2} = |BD| ^{2}}\)

A pole powierzchni bocznej to po prostu \(\displaystyle{ 3 \frac{1}{2} a h _{1}}\)